ĐKXĐ: x>0

Đặt \(t=\log_3x\left(t\in R\right)\)

=>\(x=3^{t}\)

Phương trình ban đầu trở thành: \(t^2 - mt + 2m - 7 = 0 \quad (1)\)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt t1,t2

=>Δ>0

=>\((-m)^2-4\cdot1\cdot(2m-7)>0\quad\)

=>\(m^2-8m+28>0\)

=>\(\left(m-4\right)^2+12>0\) (luôn đúng)

=>(1) luôn có hai nghiệm phân biệt t1,t2

\(x_1=3^{t_1};x_2=3_{}^{t_2}\)

x1+x2=9

=>\(3^{t_1} + 3^{t_2} = 9 \quad (2)\)

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases} t_1 + t_2 = m \quad &(3) \\ t_1 \cdot t_2 = 2m - 7 \quad &(4) \end{cases}\)

=>\(t_1 t_2 = 2(t_1 + t_2) - 7\)

=>\(t_1t_2-2t_1-2t_2+7=0\)

=>\(t_2(t_1-2)=2t_1-7\)

Nếu t1=2 thì t2(2-2)=2*2-7

=>0*t2=-3(vô lý)

=>t1<>2

=>\(t_2 = \frac{2t_1 - 7}{t_1 - 2} = 2 - \frac{3}{t_1 - 2}\)

(2) sẽ trở thành: \(3^{t_1} + 3^{2 - \frac{3}{t_1 - 2}} = 9\)

Xét hàm số \(f(t) = 3^t + 3^{2 - \frac{3}{t - 2}}\) trên các khoảng (-∞;2); (2;+∞)

trên khoảng (-∞;2), ta có:

t-2<0

=>\(\frac{-3}{t-2}>0\)

=>\(2-\frac{3}{t - 2}>2\)

\(\implies3^{2-\frac{3}{t - 2}}>3^2=9\)

mà \(3^{t}>0\)

nên \(f(t) = 3^t + 3^{2 - \frac{3}{t - 2}} > 9\)

=>f(t)=9 vô nghiệm(6)

trên khoảng (2;+∞), ta có:

\(3^{t}>3^2=9\)

=>\(f(t) = 3^t + 3^{2 - \frac{3}{t - 2}} > 9\)

=>f(t)=9 vô nghiệm(7)

Từ (6),(7) suy ra không tồn tại cặp số thực (t1;t2) nào thỏa mãn hệ

=>m∈∅

Câu 1:

\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+\sqrt{x^2-4x+5}-5=m\)

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=a\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+a-5=m\) (1)

Xét phương trình: \(x^2-4x+5=a^2\Leftrightarrow x^2-4x+5-a^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=5-a^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Nếu \(5-a^2>0\Rightarrow1\le a< \sqrt{5}\) thì pt có 2 nghiệm dương

Nếu \(5-a^2\le0\) \(\Leftrightarrow a\ge\sqrt{5}\) thì pt có 1 nghiệm dương

Vậy để pt đã cho có đúng 2 nghiệm dương thì: (1) có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(1\le a< \sqrt{5}\) hoặc có 2 nghiệm pb \(a_1>a_2\ge\sqrt{5}\)

Xét \(f\left(a\right)=a^2+a-5\) với \(a\ge1\)

\(f'\left(a\right)=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}< 1\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến \(\forall a\ge1\) \(\Rightarrow y=m\) chỉ có thể cắt \(y=f\left(a\right)\) tại nhiều nhất 1 điểm có hoành độ \(a\ge1\)

\(f\left(1\right)=-3\) ; \(f\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\) Để pt có 2 nghiệm pb đều dương thì \(-3\le m< \sqrt{5}\)

Câu 2:

\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) (1)

Ta có: \(mx^2+\left(m+1\right)x+m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2+x+1\right)\ge-x-1\)

\(\Leftrightarrow m\ge\frac{-x-1}{x^2+x+1}=f\left(x\right)\) (2)

Để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) \(\Leftrightarrow\left(2\right)\) đúng với mọi \(x\in\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{-\left(x^2+x+1\right)+\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x^2+x+1\right)^2}>0\) \(\forall x\in\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-\frac{3}{7}\)

\(\Rightarrow m\ge-\frac{3}{7}\)

z_1+z_2=-m-1,z_1z_2=m^2+m-2/4, |z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|=/sqrt(10)->|m-1|<=\sqrt(10)->m=......

|z_1|+|z_2|>=2\sqrt(|z_1z_2|)= suy ra m=......

giao 2 cai lại r4a thôi

Chọn C

Đặt \(t=log_3x\).

Phương trình ban đầu trở thành: \(t^2-mt+2m-7=0\) (*)

\(t_1+t_2=log_3\left(x_1x_2\right)=log_381=4\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thoả \(x_1x_2=81\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm \(t_1,t_2\) thoả \(t_1+t_2=4\):

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4\left(2m-7\right)\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=4\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(x^3-3x^2=m\)

Khảo sát và lập bẳng biến thiên hàm số vế trái ta có:

\(y=x^3-3x^2\)

Đạo hàm: \(y'=3x^2-6x\)

\(y'=0\Leftrightarrow x=0,x=2\)

Lập bảng biến thiên:

x y' y 0 2 0 0 + + - 8 8 + 8 + - 8 > > > 0 -4

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(x^3-3x^2=m\) có 3 nghiệm phân biệt thì: \(-4< m< 0\)