\(\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2=7x+7y\)

\(\Leftrightarrow3x^2+\left(-3y-7\right)x+3y^2-7y=0\)

Để phương trình theo nghiệm x có nghiệm thì:

\(\Delta=\left(-3y-7\right)^2-4.3.\left(3y^2-7y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow0\le y\le5\)

Thế lần lược các giá trị y cái nào làm cho x nguyên thì nhận.

a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)

=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)

=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)

=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)

=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)

TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)

=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)

=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)

=>Loại

TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)

=>(y+3)(y-2)=0

=>y=-3 hoặc y=2

Nếu y=-3 thì x-y+1=3

=>x-y=2

=>x-(-3)=2

=>x+3=2

=>x=-1

Nếu y=2 thì x-y+1=3

=>x-2+1=3

=>x-1=3

=>x=4

TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)

=>y∈∅

=>Loại

Với y nguyên thì \(2y^2-1\ne0\), Từ phương trình đề cho suy ra 

\(x=\frac{y^4}{2y^2-1}\). Để x nguyên thì :

\(y^4⋮2y^2-1\)

\(\Leftrightarrow8y^4⋮2y^2-1\)

\(\Leftrightarrow2.\left(4y^4-1\right)+2⋮2y^2-1\)

\(\Leftrightarrow2\left(2y^2-1\right)\left(2y^2+1\right)+2⋮2y^2-1\)

\(\Leftrightarrow2y^2-1\inƯ\left(2\right)=\left\{-1,1,-2,2\right\}\)

\(\Leftrightarrow2y^2\in\left\{0,2,-1,3\right\}\)

\(\Leftrightarrow y\in\left\{0,1,-1\right\}\) ( Do y nguyên )

Với \(y=0\Rightarrow x=0\)

Với \(y=1\Rightarrow x=1\)

Với \(y=-1\Rightarrow x=1\)

Bạn chú ý x;y là số nguyên dương, như thế hiển nhiên ta sẽ có x+y>x−(y+6) nhưng mà theo điều giả sử x≥y+6  nên x−(y+6)≥0 với mọi x,y

Lai do x,y nguyên dương nên x+y≥1 Như vậy hiển nhiên là (x+y)^3>(x−y−6)^2 nên pt vô nghiệm

https://diendantoanhoc.net/topic/113122-gi%E1%BA%A3i-ph%C6%B0%C6%A1ng-tr%C3%ACnh-nghi%E1%BB%87m-nguy%C3%AAn-d%C6%B0%C6%A1ng-xy3x-y-62/

\(3x^2+3xy-17=7x-2y\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x+y\right)+2x+2y-9x-17=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x+y\right)+2\left(x+y\right)-9x-6-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(3x+2\right)-3\left(3x+2\right)=11\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(x+y-3\right)=11\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right);\left(x+y-3\right)\in\left\{-1;1;-11;11\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-7\right);\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{43}{3}\right);\left(-\dfrac{11}{3};\dfrac{17}{3}\right);\left(3;1\right)\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-7\right);\left(3;1\right)\right\}\left(x;y\inℤ\right)\)

không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x bé hơn hoặc bằng y

=> 1/x lớn hơn hoặc bằng 1/y

=> 1/x+1/x bé hơn hoặc bằng 1/x+1/y

=>2/x bé hơn hoặc bằng 1/2

=> x bé hơn hoặc bằng 4

Vì 1/x+1/y=1/2

=> 1/x<1/2

=> x>2

=> x=3 hoặc x=4

Với x=3

=>1/3+1/y=1/2

=> 1/y=1/2-1/3=1/6

Với x=4

=> 1/y=1/2-1/4=1/4

=>y=4

Vậy các cặp số (x,y) thỏa mãn là: (3,6);(6,3);(4,4)

 phân tích 1/2=6/12=2/12+4/12=1/6+1/3 . 

1/2=9/18=3/18+6/18=1/6+1/3

1/2=12/24=4/24+8/24=1/6+1/3

1/2= 15/30=5/30 + 10/30 = 1/6 + 1/3

vậy x=6 ; y = 3 hoặc ngược lại