Lời giải:

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức:

Số dư của $A(x)$ khi chia cho $x+1$ là:

$A(-1)=(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+2=-1+a-b+2=5$

$\Rightarrow a-b=4(1)$

Số dư của $A(x)$ khi chia cho $x+2$ là:
$A(-2)=(-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+2=-8+4a-2b+2=8$

$\RIghtarrow 4a-2b=14$

$\Rightarrow 2a-b=7(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=3; b=-1$

Giải:

Gọi q(x); g(x) lần lượt là thương của phép chia f(x) cho x-2; f(x) cho x^2-1

=> f(x)= q(x)(x-2)

và f(x)= g(x)(x^2-1) + 2x

=> f(2) = 8+4a+2b+c=0

f(1)= 1+a+b+c=2

f(-1)= -1+a-b+c= -2

từ các hệ thức trên ta tìm được: a= -10/3; b= 1;c=10/3

F(-2)=0=> -8a+4b+c=0 (1)

f(1)=6=> a+b+c=6 (2)

f(-1)=4=> -a+b+c=4 (3)

(2) trừ (3)=> 2a=2=> a=1; thay vào (3)=> c=5-b thay vào (1)

-8+4b+5-b=0=> b=1

\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=1\\c=4\\f\left(x\right)=-x^3+x^2+4\end{matrix}\right.\)

a) \(8x^3-18x^2+x+6\)

\(=8x^3-16x^2-2x^2+4x-3x+6\)

\(=8x^2\left(x-2\right)-2x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(8x^2-2x-3\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(8x^2-6x+4x-3\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left[2x\left(4x-3\right)+\left(4x-3\right)\right]\)

\(=\left(x-2\right)\left(2x+1\right)\left(4x-3\right)\)

=> g(x) có 3 nghiệm là

x-2=0 <=> x=2

2x+1=0 <=> x=-1/2

4x-3=0 <=> x=3/4

vậy đa thức g(x) có nghiệm là x={2;-1/2;3/4}

b) tự làm đi (mk ko bt làm)

P(x):(x-2)

\(=\frac{x^4-2x^3+6x^3-12x^2+\left(a+12\right)x^2-\left(2a+24\right)x+\left(2a+24+b\right)x-\left(4a+48+2b\right)+4a+48+2b-5}{x-2}\)

\(=x^3+6x^2+\left(a+12\right)x+\left(2a+24+b\right)\) +\(\frac{4a+2b+43}{x-2}\)

P(x) chia x-2 dư 9

nên 4a+2b+43=9

=>4a+2b=9-43=-34

=>2a+b=-17

\(\frac{P\left(x\right)}{x+5}\)

\(=\frac{x^4+5x^3-x^3-5x^2+\left(a+5\right)x^2+\left(5a+25\right)x+\left(-5a-25+b\right)x+\left(-25a-125+5b\right)-\left(-25a-125+5b\right)-5}{x+5}\)

\(=x^3-x^2+\left(a+5\right)x+\left(-5a-25+b\right)\) +\(\frac{25a+125-5b-5}{x+5}\)

P(x) chia x+5 dư -5

=>25a+125-5b-5=-5

=>25a-5b=-125

=>5a-b=-25

mà 2a+b=-17

nên 5a-b+2a+b=-25-17

=>7a=-42

=>a=-6

2a+b=-17

=>b=-17-2a=-17-2*(-6)=-17+12=-5