Tìm a,b,c biết số 11a8b1987c chia hết cho 504.
Cách giải 1 (Toán kết hợp với máy tính) Vì 504 = 7 x 8 x 9 nên để 11a8b1987c chia hết cho 8 thì ba số tận cùng 87c phải chia hết cho 8. Vì 87c = 800 + 7c nên để 87c chia hết cho 8 thì c chỉ có thể bằng 2. Số cần tìm có dạng 11a8b19872.
Để số đã cho chia hết cho 9 thì: 37+a+b = 36 +1 + a + b phải chia hết cho 9, tức là a + b + 1=9 hoặc a + b + 1 = 18. Suy ra : a + b = 8 hoặc a + b = 17.
Thử tất cả các trường hợp trên máy tính ta có các kết quả sau :


Cách giải 2 (Suy luận toán học) Ta có:


Như vậy, để số đã cho chia hết cho 7 thì 3a-2b+1 phải chia hết cho 7. Vì 3a-2b+1<=3a+1<=28 nên 3a-2b+1 chỉ có thể bằng một trong các số: 0, 7, 14, 21, 28. 
Vì số đã cho đồng thời phải chia hết cho 9 nên a và b đồng thời phải thỏa mãn hai điều kiện: a + b = 17 hoặc a + b = 8 và 3a -2b +1 bằng một trong các số: 0, 7, 14, 21, 28. 
Trường hợp 1 3a -2b +1 Từ điều kiện a+b=8 ta được a=3,b=5
Trường hợp 2 Hệ 3a -2b +1 =7 và a+b=8 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 3 Hệ 3a -2b +1 = 14 và a+b=8 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 4 Hệ 3a -2b +1=21 và a+b=8 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 5 Hệ 3a -2b +1=28 và a+b=8 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 6 Hệ 3a -2b +1=0 và a+b=17 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 7 Hệ 3a -2b +1=7 và a+b=17 có nghiệm a=8, b=9.
Trường hợp 8 Hệ 3a -2b +1=14 và a+b=17 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 9 Hệ 3a -2b +1=21 và a+b=17 không có nghiệm nguyên.
Trường hợp 10 Hệ 3a -2b +1=28 và a+b=17 không có nghiệm nguyên.
Đáp số: Số cần tìm là 1138519872 và 1188919872 .

$\textbf{1.}$

Ta có $5^{2017}+5^{2015}=5^{2015}(5^2+1)$

$=5^{2015}\cdot26$

$=5^{2015}\cdot13\cdot2.$

Vì $13\mid13\cdot2$ nên $13\mid\left(5^{2017}+5^{2015}\right).$

Vậy $5^{2017}+5^{2015}$ chia hết cho $13.$

$\textbf{2.}$

Giả sử $a^{2014}+b^{2015}+c^{2016}\vdots6.$

Ta có $a^{2016}-a^{2014}=a^{2014}(a^2-1)$

$=a^{2014}(a-1)(a+1).$

Vì $a(a-1)(a+1)\vdots6$ nên $a^{2014}(a-1)(a+1)=a^{2013}\cdot a(a-1)(a+1)\vdots6.$

Suy ra $a^{2016}\equiv a^{2014}\pmod6.$

Tương tự, $b^{2017}-b^{2015}=b^{2015}(b^2-1)$

$=b^{2014}\cdot b(b-1)(b+1)\vdots6,$ nên $b^{2017}\equiv b^{2015}\pmod6.$

Lại có $c^{2018}-c^{2016}=c^{2016}(c^2-1)$

$=c^{2015}\cdot c(c-1)(c+1)\vdots6,$ nên $c^{2018}\equiv c^{2016}\pmod6.$

Cộng ba đồng dư trên, $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\equiva^{2014}+b^{2015}+c^{2016}\equiv0\pmod6.$

Vậy $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}$ chia hết cho $6.$

Giả sử $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots6.$

Ta có $a^{2018}-a^{2016}=a^{2016}(a^2-1)$

$=a^{2016}(a-1)(a+1).$

Trong ba số nguyên liên tiếp $a-1,\ a,\ a+1$ luôn có một số chia hết cho $3$ và có ít nhất một số chẵn.

Do đó $a(a-1)(a+1)\vdots6.$

Suy ra $a^{2016}(a-1)(a+1)=a^{2015}\cdot a(a-1)(a+1)\vdots6.$

Vậy $a^{2018}\equiv a^{2016}\pmod6.$

Tương tự, $b^{2019}-b^{2017}=b^{2017}(b^2-1)$

$=b^{2017}(b-1)(b+1)$

$=b^{2016}\cdot b(b-1)(b+1)\vdots6,$ nên $b^{2019}\equiv b^{2017}\pmod6.$

Lại có $c^{2020}-c^{2018}=c^{2018}(c^2-1)$

$=c^{2018}(c-1)(c+1)$

$=c^{2017}\cdot c(c-1)(c+1)\vdots6,$ nên $c^{2020}\equiv c^{2018}\pmod6.$

Cộng ba đồng dư trên, $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiva^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\pmod6.$

Theo giả thiết,

$a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\equiv0\pmod6.$

Suy ra $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiv0\pmod6.$

Hay $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots6.$

cái này trong violympic.

Đáp án là a=-1

chỉ mình lời giải đi!

Ta có a + b + c là số chẵn nên trong a,b,c có ít nhất 1 số chẵn 

Ta có

a³ + b³ + c³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³

= (a + b + c)A - 3ab(2016²⁰¹⁶ - c)

= 2016²⁰¹⁶ A - 3ab2016²⁰¹⁶ + 3abc

Ta có 2016²⁰¹⁶ A chia hết cho 6

3ab2016²⁰¹⁶ chia hết cho 6

3abc chia hết cho 6 vì chia hết cho 3 và trong a,b,c có 1 số chia hết cho 2

Vậy a³ + b³ + c³ chia hết cho 6

a= -1 vì x²⁰¹⁶ : (x-1) dư 1

(nắng có còn hờn ghen môi em

mưa có còn buồn trong mắt em

từ lúc đưa em về

lá biếc xa ngàn trùng- giải lao hát tý)

Ta có a^5-a luôn chia hết cho 6

suy ra a^5+...+d^5 -2016 chia hết cho 6

dpcm