Dùng delta đi

\(f\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta=b^2-4ac\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\4ac\ge b^2\end{matrix}\right.\)

Do \(b^2\ge0\) \(\forall b\Rightarrow4ac\ge0\) ; mà a>0 \(\Rightarrow c\ge0\) (ta được phép áp dụng BĐT Cô-si với hai số a, c)

Từ \(4ac\ge b^2\Rightarrow16ac\ge4b^2\Rightarrow4\sqrt{ac}\ge2b\) (1)

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có: \(4a+c\ge2\sqrt{4ac}=4\sqrt{ac}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4a+c\ge2b\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b^2=4ac\\4a=c\end{matrix}\right.\Rightarrow b^2=c^2=16a^2}\)

Để dấu tam thức không đổi trên R

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\36+5m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m< -\frac{36}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< -\frac{36}{5}\)

a)

\(\Delta=9-20=-11\) vô nghiêm

=> A luôn dương (+) với mọi x thuộc R

b) {a-b+c=0}

B= 0 khi x= -1 hoặc x= 5/2

B>0 khi -1<x<5/2

B<0 khi x<-1 hoặc x>/52

c) x^2 +12x+36 =(x+6)^2

C = 0 khi x =-6

C > 0 mọi x khác -6

d)

D = 0 khi x =3/2 hoặc x=-5

D> 0 khi x<-5 hoặc x>3/2

D<0 khi -5<x<3/2

\(f\left(x\right)>0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=1+3m< 0\Rightarrow m< -\frac{1}{3}\)

a) F(x) = \(-x^2\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+2\right)=\left(1-x\right)x^2\left(x+2\right)^2\\ \)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0\\\left(x+2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) => dấu biểu thức chỉ phụ thuộc vào thừa số (1-x)

F(x) =0 khi x={-2,0,1}

F(x) > 0 khi x<1 và khác -2 và 0

f(x) <0 khi x> 1

Tử f(x) =x^2(x^2-3x+2) =x^2(x-1)(x-2)

tương tự a) dấu của tử phụ thuộc (x-1)(x-2)

Mẫu f(x) =x^2 -x-30 =(x-5)(x+6)

Phần hỗ trợ Lập bảng đây khó thao tác

=> viết bằng hệ {điểm tới hạn xet x={-6,0,1,2,5}

Khi => \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)=>f(x) =0

Khi \(\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-6\end{matrix}\right.\) => f(x) không xác định

Khi \(x< -6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow f\left(x\right)>0\)

khi -6<x<1 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) => f(x) <0

khi 1<x<2 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)< 0\\Mf\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) => f(x) >0

khi 2<x<5 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) => f(x) <0

khi x>5 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)>0\end{matrix}\right.\) => f(x) >0

1/ \(y=x^2-2x-3=\left(x-1\right)^2-4\)

\(\left(x-1\right)^2-4>0\) khi

\(\left(x-1\right)^2>4\Rightarrow x-1>2\Rightarrow x>3\)

2/ \(y=x^2-3x-4=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\)

\(y>0\) khi

\(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2>\dfrac{25}{4}\Rightarrow x-\dfrac{3}{2}>\dfrac{5}{2}\Rightarrow x>4\)