a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\) (1)

Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(HB\cdot HC=AE\cdot AB\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosB=\frac{BA}{BC};cosC=\frac{CA}{CB}\)

\(AB\cdot CosB+AC\cdot cosC\)

\(=BA\cdot\frac{BA}{BC}+CA\cdot\frac{CA}{BC}=\frac{AB^2+AC^2}{BC^{}}\)

\(=\frac{BC^2}{BC}=BC\)

Câu a) với b) tính cos, tan, sin là tính góc hay cạnh vậy cậu?

Áp dụng PTG: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=17\left(cm\right)\)

\(\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{15}{17};\tan\widehat{B}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15}{8}\)

Ta có: \(\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

nên AC=3HC

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:

\(AH^2+HC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow9HC^2-HC^2=4^2=16\)

\(\Leftrightarrow HC=\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AC=3\cdot HC=3\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H,ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=4^2+2^2=20\)

hay \(AB=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

làm sao 9HC^2- HC^2= 4^2 VẬY

TẠI SAO HC=căn bậc hai

Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\) (Tỉ số lượng giác).

Mà \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{7}\left(AB=\dfrac{5}{7}BC\right).\)

\(\Rightarrow sinC=\dfrac{5}{7}.\Rightarrow\widehat{C}\approx45,58^o.\Rightarrow cosC=cos45,58^o\approx0,67.\)

1

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{.4}AC\)

Theo pytago xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sqrt{AB^2+AC^2}=BC^2\\ \Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2}=10\\ \Rightarrow AC=8\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3.8}{4}=6\)

Theo hệ thức lượng xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AB^2=BH.BC\\ \Leftrightarrow BH=\dfrac{AH^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\)

2

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{27}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{27}{4}AC\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{27}{4}AC\right)^2+AC^2}=\dfrac{\sqrt{745}AC}{4}\) ( Theo pytago trong tam giác ABC vuông tại A)

Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH.BC=AB.AC\\ \Leftrightarrow33,6.\dfrac{\sqrt{745}}{4}AC=\dfrac{27}{4}AC.AC\\ \Rightarrow AC=\dfrac{56\sqrt{745}}{45}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{27}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{42\sqrt{745}}{5}\\BC=\dfrac{\sqrt{745}}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{2086}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}AC\approx33,97\\AB\approx229,28\\BC\approx231,78\end{matrix}\right.\)

3

`BC=HB+HC=36+64=100`

Theo hệ thức lượng có (trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH):

\(AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow AH=\sqrt{36.64}=48\)

\(AB=\sqrt{HB.BC}=\sqrt{36.100}=60\\ AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{64.100}=80\)

Ta có : \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\)

\(\Rightarrow\cos C=\sin B=\frac{1}{3}\)

Ta có : \(\sin^2C+\cos^2C=1\Rightarrow\sin^2C=1-\cos^2C=\frac{8}{9}\)

\(\Rightarrow\sin C=\frac{2\sqrt{2}}{9}\)