a: A(1;-3); B(2;-5); C(4;0); H(x;y)

\(\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y+3\right);\overrightarrow{BC}=\left(4-2;0+5\right)=\left(2;5\right)\)

AH là đường cao của ΔABC

=>AH⊥BC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>2(x-1)+5(y+3)=0

=>2x-2+5y+15=0

=>2x+5y+13=0

=>2x+5y=-13(1)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y+5\right);\overrightarrow{BC}=\left(2;5\right)\)

B,H,C thẳng hàng

=>\(\frac{x-2}{2}=\frac{y+5}{5}\)

=>5(x-2)=2(y+5)

=>5x-10=2y+10

=>5x-2y=20(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}2x+5y=-13\\ 5x-2y=20\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x+10y=-26\\ 25x-10y=100\end{cases}\)

=>4x+10y+25x-10y=-26+100 và 5x-2y=20

=>29x=74 và 2y=5x-20

=>x=79/24; 2y=5*79/24-20=-85/24

=>x=79/24; y=-85/48

=>H(79/24;-85/48)

c: Gọi O(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

=>OA=OB=OC

=>\(OA^2=OB^2=OC^2\) (3)

\(OA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\)

\(OB^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2\)

\(OC^2=\left(x-4\right)^2+y^2\)

(3) suy ra \(\begin{cases}\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2\\ \left(x-2\right)^2+\left(y+5\right)^2=\left(x-4\right)^2+y^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2-2x+1+y^2+6y+9=x^2-4x+4+y^2+10y+25\\ x^2-4x+4+y^2+10y+25=x^2-8x+16+y^2\end{cases}\)

=>-2x+6y+10=-4x+10y+29 và -4x+10y+29=-8x+16

=>2x-4y=19 và 4x+10y=-13

=>4x-8y=38 và 4x+10y=-13

=>4x-8y-4x-10y=38+13 và 2x-4y=19

=>-18y=51 và 2x=4y+19

=>\(y=-\frac{51}{18}=-\frac{17}{6};2x=4\cdot\frac{-17}{6}+19=\frac{46}{6}\)

=>y=-17/6; x=23/6

=>H(23/6;-17/6)

Ta có A H → = a + 3 ; b  ;   B C → = − 1 ; 6 B H → = a − 3 ; b  ;  A C → = 5 ; 6 .  

Từ giả thiết, ta có:

               A H → . B C → = 0 B H → . A C → = 0 ⇔ a + 3 . − 1 + b .6 = 0 a − 3 .5 + b .6 = 0 ⇔ a = 2 b = 5 6 ⇒ a + 6 b = 7.

 Chọn C.

Ta có A H → = a + 3 ; b  ;   B C → = − 1 ; 6 B H → = a − 3 ; b  ;  A C → = 5 ; 6 .  

Từ giả thiết, H là trực tâm tam giác ABC nên ta có:

      A H → . B C → = 0 B H → . A C → = 0 ⇔ a + 3 . − 1 + b .6 = 0 a − 3 .5 + b .6 = 0 ⇔ a = 2 b = 5 6 ⇒ a + 6 b = 7.  

Chọn C.

\(AB^2=\left(1+1\right)^2+\left(2-0\right)^2=8\)

\(AC^2=\left(5+1\right)^2+\left(-2-0\right)^2=39\)

\(BC^2=\left(5-1\right)^2+\left(-2-2\right)^2=32\)

Cạnh lớn nhất là AC, ta có:

AC² < AB² + BC²

=> Tam giác ABC nhọn

A B 5 1 2 -2 C D E F

Diện tích ABC= dt(CDEF) - dt(CDB) - dt(CFA) - dt(ABE) 

                     = 5.4 - 4.4/2 - 5.1/2 - 3.1/2

                      = 8

Gọi H(x,y), ta có BH vuông góc với AC => \(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\) => (x - 1).(5-0) + (y - 2)(-2 +1) = 0

=> 5x - y = 3    (1)

Phương trình đt AC là: \(\frac{y+1}{-2+1}=\frac{x-0}{5-0}\) => 5y + x = -5

Vì H thuộc AC nên  5y + x = -5    (2)

Từ (1) và (2), giải hệ pt ta có: x =5/13 và y = -14/13

Vậy H(5/13; -14/13)

AB2=(1+1)2+(2−0)2=8

AC2=(5+1)2+(−2−0)2=39

BC2=(5−1)2+(−2−2)2=32

Cạnh lớn nhất là AC, ta có:

AC2 < AB2 + BC2

=> Tam giác ABC nhọn

AB512-2CDEF

Diện tích ABC= dt(CDEF) - dt(CDB) - dt(CFA) - dt(ABE) 

                     = 5.4 - 4.4/2 - 5.1/2 - 3.1/2

                      = 8

Gọi H(x,y), ta có BH vuông góc với AC => BH−→−−.

a) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(-1;-5\right)\) 

Do \(2:\left(-1\right)\ne2:\left(-5\right)\) nên A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b)

- Gọi \(G\left(x_1;y_1\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó \(x_1=\frac{1+3+3}{3}=2\) và \(y_1=\frac{2+4+\left(-1\right)}{3}=\frac{5}{3}\)

Suy ra \(G\left(2;\frac{5}{3}\right)\)

- Gọi \(H\left(x_2,y_2\right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó H thỏa mãn :

\(\begin{cases}AH\perp BC\\CH\perp AB\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)

Từ đó, ta có hệ 

\(\begin{cases}x_2+5y_2-6=0\\x_2+y_2-1=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được ( \(x_2;y_2\)) \(=\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\) do đó \(H\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\)

- Gọi \(I\left(x_3,y_3\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\) nên ta có hệ :

\(\begin{cases}1-x_3+3-x_3+2-x_3=-\frac{3}{4}-x_3\\2-y_4+4-y_3-1-y_3=\frac{7}{4}-y_3\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được \(\left(x_3,y_3\right)=\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

Do đó \(I\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

Câu 1: Diện tích tam giác là: \(\frac{h_A.a}{2}=\frac{3.6}{2}=9\)(đvdt)

Câu 2: Diện tích tam giác là: \(\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}.4.5.\sin60^o=5\sqrt{3}\)(đvdt)

Câu 2: Ta có: \(\hept{\begin{cases}c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\\a^2+b^2>c^2\end{cases}\Rightarrow c^2>c^2-2ab.\cos C\Leftrightarrow2ab.\cos C>0}\)
\(\Rightarrow\cos C>0\Rightarrow C< 90^o\)
Vậy C là góc nhọn