a) Đường tròn (T) có tâm là điểm (2 ; 1) và có bán kính bằng \(\sqrt 2\)

b) \(-3\le m\le1\)

c) Có hai tiếp tuyến với (T) thỏa mãn đề bài là :

\({\Delta _1}:x + y - 1 = 0\)

\({\Delta _2}:x + y - 5 = 0\)

Giả sử \(C\left(c;-c;-3\right)\in d_1\)

           \(D\left(5d+16;d\right)\in d_2\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CD}=\left(5d+16-c;d+c+3\right)\)

ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\left(3;4\right)\)

                                    \(\Rightarrow\begin{cases}5d+16-c=3\\d+c+3=4\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}5d-c=-13\\d+c=1\end{cases}\)

                                    \(\Leftrightarrow\begin{cases}d=-2\\c=3\end{cases}\)

                                    \(\Rightarrow C\left(3;-6\right);D\left(6;-2\right)\)

Ta có : \(\overrightarrow{BA}=\left(3;4\right);\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\) không cùng phương => A, B, C, D không thẳng hàng => ABCD là hình bình hàng

Vậy \(C\left(3;-6\right);D\left(6;-2\right)\)

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Do AB luôn vuông góc AM nên đường thẳng AB nhận (1;1) là 1 vtpt

Phương trình AB có dạng: \(x+y+c=0\)

Theo công thức diện tích tam giác:

\(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}R^2\)

\(\Rightarrow S_{max}=\frac{1}{2}R^2\) khi \(\widehat{AIB}=90^0\)

\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left|1+2+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left|c+3\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-1\\c=-5\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng AB thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x+y-5=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x+y-1=0\Rightarrow y=1-x\)

Thay vào pt đường tròn: \(x^2+\left(1-x\right)^2-2x-4\left(1-x\right)+1=0\)

Giải ra tọa độ A hoặc B (1 cái là đủ) rồi tính được AM

TH2: tương tự.

Bạn tự làm nốt phần còn lại nhé

Câu 3:

Đường tròn tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)

Tam giác MBC đều \(\Rightarrow IM\) là trung trực của BC

\(\overrightarrow{MI}=\left(1;3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\left(1;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BC có dạng \(x+3y+c=0\)

Mặt khác do MBC đều nên I đồng thời là trọng tâm

\(\Rightarrow d\left(I;BC\right)=\frac{1}{2}IM=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

Theo công thức khoảng cách:

\(\frac{\left|1+2.3+c\right|}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow\left|c+7\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\\c=-12\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+3y-2=0\\x+3y-12=0\end{matrix}\right.\)

M và I phải nằm cùng phía so với đường thẳng BC nên loại trường hợp \(x+3y-2=0\)

Tọa độ B và C là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-12=0\\x^2+y^2-2x-4y-5=0\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải nốt

Bài 2:

Phương trình (d) cần tìm là -3(x-1)+5(y-3)=0

=>-3x+3+5y-15=0

=>-3x+5y-12=0

=>3x-5y+12=0

Bài 3:

vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{v}=\left(-3;5\right)\)

=>VTPT là (5;3)

Phương trình đường thẳng là:

5(x-5)+3(y-3)=0

=>5x-25+3y-9=0

=>5x+3y-34=0

a) Ta có : -2a = -2 => a = 1

-2b = -2 => b = 1 => I(1; 1)

R² = a² + b² – c = 1² + 1² – (-2) = 4 => R = 2

b) Tương tự, ta có : I \(\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\); R = 1

c) I(2; -3); R = 4