a: (x-2)(x+3)>0

TH1: \(\begin{cases}x-2>0\\ x+3>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>2\\ x>-3\end{cases}\Rightarrow x>2\)

TH2: \(\begin{cases}x-2<0\\ x+3<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<2\\ x<-3\end{cases}\)

=>x<-3

b: (2x-1)(-x+1)>0

=>(2x-1)(x-1)<0

TH1: \(\begin{cases}2x-1>0\\ x-1<0\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}x>\frac12\\ x<1\end{cases}\)

=>\(\frac12

TH2: \(\begin{cases}2x-1<0\\ x-1>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<\frac12\\ x>1\end{cases}\)

=>x∈∅

c: (x+1)(3x-6)<0

=>3(x+1)(x-2)<0

=>(x+1)(x-2)<0

TH1: \(\begin{cases}x+1>0\\ x-2<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-1\\ x<2\end{cases}\Rightarrow-1

TH2: \(\begin{cases}x+1<0\\ x-2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<-1\\ x>2\end{cases}\)

=>x∈∅

\(A=\frac{\left|x-2019\right|+2020-2}{\left|x-2019\right|+2020}=1-\frac{2}{\left|x-2019\right|+2020}\)

Vì \(\left|x-2019\right|\ge0\)

=> \(\left|x-2019\right|+2020\ge2020\)

=> \(\frac{2}{\left|x-2019\right|+2020}\le\frac{2}{2020}\)

=> \(-\frac{2}{\left|x-2019\right|+2020}\ge-\frac{2}{2020}\)

=> \(1-\frac{2}{\left|x-2019\right|+2020}\ge1-\frac{2}{2020}=\frac{2018}{2020}=\frac{1009}{1010}\)

=> \(A\ge\frac{1009}{1010}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x-2019=0\Leftrightarrow x=2019\)

Vậy GTNN của A bằng 1009/1010 đạt tại x = 2019.

📝 Chứng minh các Đẳng thức về Lũy Thừa

1. Đẳng thức thứ nhất: $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^2 \times (-a)^2]^5 = 0}$

Chứng minh:

Ta biến đổi từng thành phần của vế trái (VT).

A. Thành phần thứ nhất: $\mathbf{-a^5 \times (-a)^5}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa: $(-a)^5 = -a^5$ (vì số mũ là số lẻ). $$\mathbf{-a^5 \times (-a)^5} = -a^5 \times (-a^5)$$ $$= -(-a^{5+5})$$ $$= -(-a^{10})$$ $$= \mathbf{a^{10}}$$

B. Thành phần thứ hai: $\mathbf{[-a^2 \times (-a)^2]^5}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa: $(-a)^2 = a^2$ (vì số mũ là số chẵn). $$\mathbf{[-a^2 \times (-a)^2]^5} = [-a^2 \times a^2]^5$$ $$= [-a^{2+2}]^5$$ $$= [-a^4]^5$$
• Áp dụng quy tắc lũy thừa (số mũ 5 là số lẻ): $[-x]^5 = -x^5$ $$= -(a^4)^5$$ $$= -a^{4 \times 5}$$ $$= \mathbf{-a^{20}}$$

C. Tổng kết Vế Trái (VT):

Lưu ý quan trọng: Đẳng thức ban đầu có vẻ có lỗi gõ. Nếu đẳng thức được viết đúng là:

(Tức là $(-a^2)^5$ thay vì $(-a^2 \times (-a)^2)^5$, hoặc có lỗi mũ).

GIẢ SỬ đẳng thức được viết đúng là: $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^{10}] = 0}$ (Đây là giả định thường gặp trong các bài toán chứng minh sơ cấp khi có lỗi gõ)

• Thành phần 1: $-a^5 \times (-a)^5 = a^{10}$
• Thành phần 2: $-a^{10}$
• $VT = a^{10} + (-a^{10}) = \mathbf{0}$ (Đúng với Vế Phải (VP)).

KẾT LUẬN: Với cách viết nguyên bản $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^2 \times (-a)^2]^5 = a^{10} - a^{20}}$, đẳng thức không bằng 0 trừ khi $a=1$ hoặc $a=0$. Rất có thể đề bài có lỗi gõ và nên được sửa thành $\mathbf{a^{10} - a^{10} = 0}$.

2. Đẳng thức thứ hai: $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k} = (-a)^n \times a^k}$

Chứng minh:

Ta biến đổi Vế Trái (VT) và Vế Phải (VP) để so sánh.

A. Biến đổi Vế Trái (VT): $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k}}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa (số mũ chẵn): $(-a)^2 = a^2$. $$VT = a^2 \times a^{n-k}$$
• Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: $a^m \times a^p = a^{m+p}$. $$VT = a^{2 + (n-k)} = \mathbf{a^{n - k + 2}}$$

B. Biến đổi Vế Phải (VP): $\mathbf{(-a)^n \times a^k}$

• Sử dụng quy tắc nhân lũy thừa: $a^m \times a^p = a^{m+p}$. $$VP = (-a)^n \times a^k$$

C. So sánh:

Để $VT = VP$, ta cần có:

Điều này chỉ đúng khi:

1. Nếu n chẵn: $(-a)^n = a^n$.
2. • $VP = a^n \times a^k = a^{n+k}$.
   • Yêu cầu: $a^{n - k + 2} = a^{n+k} \implies n - k + 2 = n + k \implies 2 = 2k \implies \mathbf{k = 1}$.
   • Đẳng thức chỉ đúng khi $n$ chẵn và $k=1$ (hoặc $a=0$ hoặc $a=1$).
3. Nếu n lẻ: $(-a)^n = -a^n$.
4. • $VP = -a^n \times a^k = -a^{n+k}$.
   • Yêu cầu: $a^{n - k + 2} = -a^{n+k} \implies$ Vô lý (vì $a^{n - k + 2}$ luôn $\ge 0$ còn $-a^{n+k} \le 0$, chỉ bằng nhau khi $a=0$).

KẾT LUẬN: Đẳng thức $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k} = (-a)^n \times a^k}$ KHÔNG ĐÚNG trong trường hợp tổng quát. Đẳng thức chỉ đúng khi $n$ là số chẵn và $k=1$ (hoặc $a=0$ hoặc $a=1$). Rất có thể đây cũng là một lỗi gõ, và đẳng thức đúng cần phải là:

a) Ta có :  (3x - 0.5) ( 2x + 2.5) = 0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-0,5=0\\2x+2,5=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x=0,5\\2x=-2,5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}\\x=-\frac{2,5}{2}=\frac{5}{4}\end{cases}}\)

là 5/4 nhé!

Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+cd< bc+dc\)

\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) (1)

\(ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\left(đpcm\right)\)

Ta có :

\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(d+b\right)< b\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)

Lại có :

\(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\rightarrowđpcm\)

a) đồ thị hàm số y = a.x đi qua điểm A(-1;2), nên ta có:

2 = a.(-1) \(\Rightarrow\) a = \(\dfrac{2}{-1}\) = -2

Vậy a = -2

b) * Xét điểm M(2;-3), ta có:

-3\(\ne\) -2.2

Vậy điểm M không thuộc d

* Xét điểm A(1;-2), ta có:

-2= -2.1

Vậy điểm A thuộc d

* Xét điểm I(-2;4), ta có:

4 = -2.(-2)

Vậy điểm I thuộc d

a) Tính số đo các góc BOD, DOE, COE

Dựa vào các số đo đã cho:

• ∠BOC = 42°
• ∠AOD = 97°
• ∠AOE = 56°

Giả sử các tia nằm trên cùng một mặt phẳng và theo thứ tự: B → O → C → D → E → A

Tính từng góc:

• ∠BOD = ∠AOD − ∠BOC = 97° − 42° = 55°
• ∠DOE = ∠AOE − ∠AOD = 56° − 97° = −41° → không hợp lý
  → Vậy ta lấy: ∠DOE = ∠AOD − ∠AOE = 97° − 56° = 41°
• ∠COE = ∠BOD + ∠DOE = 55° + 41° = 96°

• b) Tia OD có phải là phân giác của góc COE không?
• Phân giác là tia chia góc thành hai phần bằng nhau.
• ∠COE = 96°, mà ∠BOD = 55°, ∠DOE = 41°
• Vì 55° ≠ 41°, nên tia OD không phải là phân giác của ∠COE