Bài 2: 

a: ĐKXĐ: 2/3x-1/5>=0

=>2/3x>=1/5

hay x>=3/10

b: ĐKXĐ: \(\dfrac{x+1}{2x-3}>=0\)

=>2x-3>0 hoặc x+1<=0

=>x>3/2 hoặc x<=-1

c: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-5>=0\\x-4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>4\)

\(S=\left(x+2012\right)+\left(2y-2013\right)+\left(3z+2014\right)=a+b+c\)

\(P=a^5+b^5+c^5\)

\(P-S=\left(a^5-a\right)+\left(b^5-b\right)+\left(c^5-c\right)\)

 \(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\)

 Ta chứng minh \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 30 .

tương tự => \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(b^2+1\right);c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\)chia hết cho 30.

=> P -S chia hết cho 30 => (dpcm)

\(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(-1\right)=-1+5\\f\left(1\right)=1+5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-8a+4b+c=0\\-a+b+c=4\\a+b+c=6\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b+c=5\\4b+c=8\end{cases}\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}.}}}..\)

\(x=\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{x^2-2x+1+4}\\ =\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

dấu "=" xảy ra khi x=1

vậy min x=2 khi x=1

\(y=\sqrt{\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{6}+1}=\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}\right)^2-2.\dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{35}{36}}\\ =\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{35}{36}}\ge\sqrt{\dfrac{35}{36}}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{6}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

vậy min y =\(\sqrt{\dfrac{35}{36}}\) tại \(x=\dfrac{1}{3}\)

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{2x+2+x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)

b/ \(P=2\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+2\ge2\sqrt{\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}+2=6>5\Rightarrow P>5\)

c/ Do \(P>5\Rightarrow0< \frac{8}{P}< \frac{8}{5}\)

Mà \(\frac{8}{P}\) nguyên \(\Rightarrow\frac{8}{P}=1\)

Vậy biểu thức \(\frac{8}{P}\) chỉ nhận đúng 1 giá trị nguyên là 1

Nguyễn Việt Lâm thanks nha

Ta có: x⁸+x⁴+1=x⁸+2x⁴+1-x⁴

= (x⁴+1)²-(x²)²=(x⁴+x²+1).(x⁴-x²+1)

Tiếp tục phân tích 

x⁴+x²+1= x⁴+2x²+1-x²=(x²+1)²-x²

(x²+x+1).(x²-x+1)

=> x⁸+x⁴+1= (x²+x+1).(x²-x+1).(x⁴-x²+1)

=> x⁸+x⁴+1 chia hết cho x²+x+1

x⁸+x⁴+1 = x⁸- x⁵+x⁵ – x²+ x⁴-x + x²+x + 1

     =  x⁵ (x³- 1)+ x² (x³- 1)+ x (x³- 1)+( x²+x + 1)

= x⁵ (x -1)(x²+x + 1)+ x² (x -1)(x²+x + 1)+x (x -1)(x²+x + 1)+ ( x²+x + 1)

2/ Ta phân tích

ax³ + bx² + c = (x + 2)[a​x² + (b - 2a)x - 2(b - 2a)] + c + 4(b - 2a) = (x² - 1)(ax + b) + ax + b + c

Từ đó kết hợp với đề bài ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}c+4\left(b-2a\right)=0\\a=1\\b+c=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}}\)

Ta có A = (x + y)³ + z³ + kxyz - 3xy(x + y)

= (x + y + z)[(x + y)² - (x + y)z + z²] + xy(kz - 3x - 3y)

Nhìn vào cái này ta dễ thấy là để A chia hết cho x + y + z thì k = - 3