Nhìn đề bài hãi quá :(

a/ \(A=3\sin\left(5.2\pi+\pi-x\right).\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)+2\sin\left(4.2\pi+\pi+x\right)\)

\(A=3\sin\left(\pi-x\right).\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+2\sin\left(\pi+x\right)\)

\(A=3\sin x.\cos x-2\sin x=\sin x\left(3\cos x-2\right)\)

b/ \(B=\sin\left(5.2.180^0+180^0+x\right)-\cos\left(90^0-x\right)+\tan\left(90^0+180^0-x\right)+\cot\left(2.180^0-x\right)\)

\(B=\sin\left(180^0+x\right)-\sin x+\tan\left(90^0-x\right)+\cot\left(-x\right)\)

\(B=-\sin x-\sin x+\cot x-\cot x=-2\sin x\)

c/ \(C=-2\sin\left(-(2\pi+\frac{\pi}{2}-x)\right)-3\cos\left(2\pi+\pi-x\right)+5\sin\left(2.2\pi-\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right)+\cot\left(\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)\)

\(C=2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-3\cos\left(\pi-x\right)-5\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)

\(2\cos x+3\cos x-5\cos x+\tan x=\tan x\)

d/ \(D=\tan\left(-\left(\pi-x\right)\right).\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right).\left(-\cos x\right)\)

\(D=\tan\left(\pi-x\right).\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right).\cos x\)

\(D=-\tan x.\sin x.\cos x=-\sin^2x\)

e/ \(E=\cos\left(28.2\pi+\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin\left(-\left(58.2\pi+\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)\right)+\cos\left(-\left(46.2\pi+\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)\right)+\sin\left(35.2\pi+\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)\)

\(E=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)

\(E=-2\sin x\)

Thôi, stop ở đây, làm nữa chắc tẩu hỏa nhập ma quá :(

Mình thấy hầu hết các bài này đều có chung 1 điểm, và chắc đó cũng là điểm mà bạn thắc mắc: Đó chính là tách các hạng tử ra và biến đổi

Tách cũng đơn giản thôi, cứ gặp sin, cos thì tách sao cho về dạng 2pi+..., gặp tan, cot thì pi.

Còn tách mấy cái phân số như vầy:

Ví dụ \(\frac{7\pi}{2}\) , 7 chia 2 được 3, ta lấy \(\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}\) thì suy ra: \(\frac{7\pi}{2}=3\pi+\frac{\pi}{2}\)

Đó, thế là được :D

Biểu thức này chỉ rút gọn được khi mẫu là \(1-2sin^210^0\)

\(tan40+tan50=\dfrac{sin40}{cos40}+\dfrac{sin50}{cos50}=\dfrac{sin40.cos50+cos50.sin40}{cos40.cos50}\)

\(=\dfrac{sin\left(40+50\right)}{\dfrac{1}{2}\left(cos90+cos10\right)}=\dfrac{2}{cos10}\)

\(\Rightarrow tan30+tan60+tan40+tan50=\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}+\dfrac{2}{cos10}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2}{cos10}=\dfrac{4\sqrt{3}cos10+6}{3.cos10}=\dfrac{4\sqrt{3}\left(cos10+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{3.cos10}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{3}\left(cos10+cos30\right)}{3cos10}=\dfrac{8\sqrt{3}cos20.cos10}{3cos10}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}cos20\)

\(\Rightarrow G=\dfrac{\dfrac{8\sqrt{3}}{3}cos20}{1-2sin^210}=\dfrac{\dfrac{8\sqrt{3}}{3}cos20}{cos20}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)

Câu 3:

\(A=cos\frac{\pi}{7}.cos\frac{5\pi}{7}.cos\frac{4\pi}{7}=cos\frac{\pi}{7}.cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right).cos\frac{4\pi}{7}\)

\(A=-cos\frac{\pi}{7}.cos\frac{2\pi}{7}.cos\frac{4\pi}{7}\)

\(\Rightarrow sin\frac{\pi}{7}.A=-\frac{1}{2}.2sin\frac{\pi}{7}.cos\frac{\pi}{7}.cos\frac{2\pi}{7}.cos\frac{4\pi}{7}\)

\(\Rightarrow sin\frac{\pi}{7}.A=-\frac{1}{2}.sin\frac{2\pi}{7}.cos\frac{2\pi}{7}.cos\frac{4\pi}{7}\)

\(\Rightarrow sin\frac{\pi}{7}.A=-\frac{1}{4}sin\frac{4\pi}{7}.cos\frac{4\pi}{7}\)

\(\Rightarrow sin\frac{\pi}{7}.A=-\frac{1}{8}sin\frac{8\pi}{7}=-\frac{1}{8}sin\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=\frac{1}{8}sin\frac{\pi}{7}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{8}\)

Câu 4:

Đầu tiên ta chứng minh công thức:

\(tana+tanb=\frac{sina}{cosa}+\frac{sinb}{cosb}=\frac{sina.cosb+cosa.sinb}{cosa.cosb}=\frac{sin\left(a+b\right)}{cosa.cosb}\)

Áp dụng để biến đổi tử số:

\(tan30+tan60+tan40+tan50=\frac{sin90}{cos30.cos60}+\frac{sin90}{cos40.cos50}=\frac{1}{cos30.cos60}+\frac{1}{cos40.cos50}\)

\(=\frac{2}{cos90+cos30}+\frac{2}{cos90+cos10}=\frac{2}{cos30}+\frac{2}{cos10}=2\left(\frac{cos30+cos10}{cos30.cos10}\right)\)

\(=2\left(\frac{2cos20.cos10}{cos30.cos10}\right)=\frac{4.cos20}{cos30}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.cos20\)

\(\Rightarrow A=\frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}cos20}{cos20}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

Câu 5:

\(cos54.cos4-cos36.cos86=cos54.cos4-cos\left(90-54\right).cos\left(90-4\right)\)

\(=cos54.cos4-sin54.sin4=cos\left(54+4\right)=cos58\)

Câu 1:

\(A=\frac{1}{2sin10}-2sin70=\frac{1-4sin10.sin70}{2sin10}=\frac{1+2\left(cos80-cos60\right)}{2sin10}\)

\(=\frac{1+2cos80-1}{2sin10}=\frac{2cos80}{2sin10}=\frac{sin10}{sin10}=1\)

Câu 2:

\(cos10.cos30.cos50.cos70=cos10.cos30.\frac{1}{2}\left(cos120+cos20\right)\)

\(=\frac{1}{2}cos30\left(cos10.cos120+cos10.cos20\right)\)

\(=\frac{1}{2}cos30\left(cos10.cos120+\frac{1}{2}\left(cos30+cos10\right)\right)\)

\(=\frac{1}{2}cos30\left(cos10.cos120+\frac{1}{2}cos30+\frac{1}{2}cos10\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(-\frac{1}{2}cos10+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}cos10\right)\)

\(=\frac{3}{16}\)

a)
\(A=cos^230^o-sin^230^o=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\);
\(B=cos60^o+sin45^o=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Vì vậy \(A< B\).
b)
\(C=\dfrac{2tan30^o}{1-tan^230^o}=\dfrac{2\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{3}\).
\(D=\left(-tan135^o\right)tan60^o=-\left(-1\right).\sqrt{3}=\sqrt{3}\).
Vậy \(C=D\).

\(E=\frac{\frac{1}{sin^2x}}{1-\frac{cosx}{sinx}+\frac{cos^2x}{sin^2x}}=\frac{1+cot^2x}{1-cotx+cot^2x}=\frac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=...\)

\(A=tan^2x+cot^2x=\left(tanx+cotx\right)^2-2=4-2=2\)

\(B=\left(tanx+cotx\right)^3-3tanx.cotx\left(tanx+cotx\right)=2^3-3.1.2=2\)

1/ Vì \(\pi< \alpha< \frac{3}{2}\pi\)

\(\Rightarrow\)\(\alpha\in\) góc phần tư thứ 3\(\Rightarrow\sin\alpha< 0;\cos\alpha< 0;\cot\alpha>0\)

2/ Xét 3 trường hợp:

TH1: \(0^0< \alpha< 90^0\) \(\Rightarrow\alpha\in\) góc phần tư thứ nhất\(\Rightarrow\sin\alpha>0;\cos\alpha>0;\cot\alpha>0\)

TH2: \(-90^0< \alpha< 0^0\Rightarrow\alpha\in\) góc phần tư thứ tư

\(\Rightarrow\sin\alpha< 0;\cos\alpha>0;\cot\alpha< 0\)

TH3: \(-170^0< \alpha< -90^0\)\(\Rightarrow\alpha\in\) góc phần tư thứ ba

\(\Rightarrow\sin\alpha< 0;\cos\alpha< 0;\cot\alpha>0\)

3/ Vì...=> \(\alpha\in\) góc phần tư thứ ba

\(\Rightarrow...\)

\(C=2sin3x.cos3x.\frac{cos3x}{sin3x}-\left(cos^23x-sin^23x\right)\)

\(=2cos^23x-cos^23x+sin^23x=cos^23x+sin^23x=1\)

\(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.sin\frac{\pi}{4}-cosx.cos\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

Câu này bạn ghi nhầm đề (lưu ý rằng \(sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Câu 2b bạn cũng xem lại đề, chắc chắn ko đúng

\(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)

Câu 3 bạn cũng ghi sai đề luôn

Trong 1 ngày đẹp trời thì câu 4 cũng sai luôn cho đỡ lạc lõng đồng đội:

\(sin\left(a+b-b\right)=sin\left(a+b\right)cosb-cos\left(a+b\right)sinb=2sin\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\left(a+b\right)\left[cosb-2\right]=cos\left(a+b\right).sinb\)

\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{sinb}{cosb-2}\Leftrightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{sinb}{cosb-2}\)

4 câu bạn ghi đúng đề bài duy nhất câu 1, kinh thiệt :(

Bài 1:

\(A=\left(1+sinx\right)\left(1-sinx\right)tan^2x=\left(1-sin^2x\right).\frac{sin^2x}{cos^2x}=cos^2x.\frac{sin^2x}{cos^2x}=cos^2x\)

\(B=cot^2x-sin^2x.cot^2x+1-cot^2x=1-sin^2x.\frac{cos^2x}{sin^2x}=1-cos^2x=sin^2x\)

\(C=tan^2x+2+\frac{1}{tan^2x}-\left(tan^2x-2+\frac{1}{tan^2x}\right)=2+2=4\)

Bài 2:

Đề yêu cầu tính giá trị lượng giác nào bạn? sin?cos?tan?cot?

Không hỏi thì làm sao mà biết cần tính gì

Bài 2:

\(0< a< \frac{\pi}{2}\Rightarrow sina>0\)

\(\Rightarrow sina=\sqrt{1-cos^2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(tana=\frac{sina}{cosa}=\sqrt{3}\)

\(cota=\frac{1}{tana}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

b/ \(-\frac{\pi}{2}< a< 0\Rightarrow cosa>0\)

\(\Rightarrow cosa=\sqrt{1-sin^2a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(tana=\frac{sina}{cosa}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(cota=\frac{1}{tana}=-\frac{\sqrt{5}}{2}\)

c/ \(-\frac{\pi}{2}< a< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina< 0\\cosa>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cosa=\frac{1}{\sqrt{1+tan^2a}}=...\)

Nhìn lại thì đề ảo quá, ai cho số \(\sqrt{\frac{3}{3}}\) bao giờ, như vầy người ta cho luôn số 1 cho rồi. Chắc bạn ghi nhầm, nhưng bạn có thể tự tính bằng cách thay vào công thức, sau đó tính \(sina=cosa.tana\)

d/ \(\frac{3\pi}{2}< 0< 2\pi\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina< 0\\cosa>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow sina=-\frac{1}{\sqrt{1+cot^2a}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(cosa=sina.cota=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(tana=\frac{1}{cota}=-\frac{1}{2}\)