Bài 1:

Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:

\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)

dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y

Bài 2:

ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)

Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:

\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

......

dấu = xảy ra khi a=b=c

Bài 2:

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:

\(a^2+1\ge2a\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)

thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Ta có: \(\frac{1+ab}{1+a^2}+\frac{1+ab}{1+b^2}=\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\)

mà \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}\)( Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\))

Mặt khác: \(a^2+b^2\ge2ab\)

=> \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+2ab}=\frac{2}{1+ab}\)

=> \(\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\ge\left(1+ab\right)\left(\frac{2}{1+ab}\right)=2\)(đpcm)

Do a>0 nên \(\frac{1}{a}>0\)

Apa dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương a và \(\frac{1}{a}\)ta có

\(a+\frac{1}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a.1}{a}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)( Do a>0 )

Ta có :  \(a+\frac{1}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a}+\frac{1}{a}-\frac{2a}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2}{a}\ge0\)( luôn đúng \(\forall a>0\))

Vậy ...

Lm dc hết chưa bn ơi.

câu 2

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd

<=> \(a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2b^2d^2=0\)

<=> \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\)

Ta sẽ chứng minh bầng biến đổi tương đương : 

a ) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh.

b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.

Bạn cần thêm điều kiện a,b>0 cho cả a) nữa nhé :)

a/ ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) ( ĐPCM)

a) Ta có :  \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge2\)(vì x > 0)

b) \(\left(x+1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge-2x\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\le-2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\le-2\)(vì x < 0)

a) Ta có: \(x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\)

Vì \(x>0,\left(x-1\right)^2\ge0\)nên \(x++\frac{1}{x}-2\ge0\)

Vậy \(x+\frac{1}{x}\ge2\)vs \(x>0\)

b) Ta có: \(x+\frac{1}{x}+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\)

Vì \(x< 0,\left(x+1\right)^2\le0\), nên \(x+\frac{1}{x}\le0\)

Vậy \(x+\frac{1}{x}\le-2\)vs \(x< 0\)