a: Diện tích hình thoi là: \(12\cdot20=240\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Gọi hình thoi đề bài cho là hình thoi ABCD, với H là giao điểm của AC và BD, BK⊥AD tại K

Theo đề, ta có: AB=BC=CD=AD=20cm và BK=12(cm)

ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại H và H là trung điểm chung của AC và BD, AC là phân giác của góc BAD

H là trung điểm của AC

=>\(HA=HC=\frac{AC}{2}\)

H là trung điểm của BD

=>\(HB=HD=\frac{BD}{2}\)

ΔHAB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA^2+HB^2=20^2=400\)

Diện tích hình thoi ABCD là \(240\operatorname{cm}^2\)

=>\(\frac12\cdot AC\cdot BD=240\)

=>\(\frac12\cdot2\cdot AH\cdot2\cdot BH=240\)

=>\(2\cdot AH\cdot BH=240\)

=>\(HA\cdot HB=120\)

=>\(2\cdot HA\cdot HB=240\)

=>\(HA^2+HB^2+2\cdot HA\cdot HB=400+240=640\)

=>\(\left(HA+HB\right)^2=640\)

=>\(HA+HB=8\sqrt{10}\)

mà \(HA\cdot HB=120\)

nên HA,HB là các nghiệm của phương trình:

\(x^2-8\sqrt{10}x+120=0\)

\(\Delta=\left(8\sqrt{10}\right)^2-4\cdot1\cdot120=640-480=160\) >0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{8\sqrt{10}-\sqrt{160}}{2}=\frac{8\sqrt{10}-4\sqrt{10}}{2}=\frac{4\sqrt{10}}{2}=2\sqrt{10}\\ x=\frac{8\sqrt{10}+4\sqrt{10}}{2}=\frac{12\sqrt{10}}{2}=6\sqrt{10}\end{array}\right.\)

TH1: \(HB=2\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right);HA=6\sqrt{10}\) (cm)

Xét ΔHAB vuông tại H có sin HAB=\(\frac{HB}{BA}=\frac{2\sqrt{10}}{20}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

nên \(\hat{HAB}\) ≃18 độ

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{BAC}\)

=>\(\hat{BAD}=2\cdot18^0=36^0\)

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=36^0\)

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-36^0=144^0\)

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

=>\(\hat{ADC}=144^0\)

TH2: \(HA=2\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right);HB=6\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔHAB vuông tại H có cos HAB=\(\frac{HB}{BA}=\frac{2\sqrt{10}}{20}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

nên \(\hat{HAB}\) ≃72 độ

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{BAC}\)

=>\(\hat{BAD}=2\cdot72^0=144^0\)

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=144^0\)

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-144^0=36^0\)

ABCD là hình thoi

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

=>\(\hat{ADC}=36^0\)

c: TH1: \(HB=2\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right);HA=6\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right)\)

H là trung điểm của BD

=>\(BD=2\cdot HB=4\sqrt{10}\) (cm)

H là trung điểm của AC

=>\(AC=2\cdot AH=12\sqrt{10}\) (cm)

TH2: \(HA=2\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right);HB=6\sqrt{10}\left(\operatorname{cm}\right)\)

H là trung điểm của BD

=>\(BD=2\cdot HB=12\sqrt{10}\) (cm)

H là trung điểm của AC

=>\(AC=2\cdot AH=4\sqrt{10}\) (cm)