Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
24.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)
Hàm liên tục tại \(x=1\) khi:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{1}{2}=k+1\)
\(\Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}\)
25.
\(S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{2}{3}\)
26.
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B'C'}\) nên \(\overrightarrow{AD}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{B'C'}\)
27.
\(cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=3.5.cos120^0=-\dfrac{15}{2}\)
28.
Cả 4 khẳng định này đều sai
Khẳng định đúng: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{0}\)
29.
\(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) là khẳng định đúng
Câu 31 B
Nếu đường thẳng \(\alpha\) song song với mặt phẳng (P) thì có duy nhất một mặt phẳng chứa 
và song song với (P).
ABC là tam giác đều nên ACD cũng là tam giác đều
\(\Rightarrow OB=OD=\dfrac{AC\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
\(OH=\dfrac{1}{3}OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow DH=OD+OH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SDH}\) là góc giữa SD và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{SDH}=30^0\)
\(\Rightarrow SH=DH.tan30^0=\dfrac{2a}{3}\)
\(BH=\dfrac{2}{3}OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SB=\sqrt{BH^2+SH^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}\)
c.
\(tan\widehat{HCO}=\dfrac{OH}{OC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{HCO}=30^0\Rightarrow\widehat{HCD}=30^0+60^0=90^0\)
Hay \(CH\perp CD\) , mà \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CD\)
\(\Rightarrow CD\perp\left(SCH\right)\)
Từ H kẻ \(HE\perp SC\Rightarrow CD\perp HE\Rightarrow HE\perp\left(SCD\right)\)
Trong mp (BDE), qua B kẻ đường thẳng song song HE cắt DE kéo dài tại F
\(\Rightarrow BF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow\widehat{BSF}\) là góc giữa SB và (SCD)
\(CH=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) , hệ thức lượng trong tam giác vuông SCH:
\(HE=\dfrac{SH.CH}{\sqrt{SH^2+CH^2}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}\)
Talet: \(\dfrac{HE}{BF}=\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow BF=\dfrac{3}{2}HE=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{BSF}=\dfrac{BF}{SB}=\dfrac{3\sqrt{3}}{7}\)
a.
\(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow2x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\) (1)
\(-\dfrac{\pi}{3}\le x\le\dfrac{7\pi}{3}\Rightarrow-\dfrac{\pi}{3}\le-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\le\dfrac{7\pi}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{5}{24}\le k\le\dfrac{59}{24}\Rightarrow k=\left\{0;1;2\right\}\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow x=\left\{-\dfrac{\pi}{8};\dfrac{7\pi}{8};\dfrac{15\pi}{8}\right\}\)
b.
\(cos4x=-sin2x\)
\(\Leftrightarrow cos4x=cos\left(\dfrac{\pi}{2}+2x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x=\dfrac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\4x=-\dfrac{\pi}{2}-2x+n2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{n\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{n\pi}{3}\) (2)
\(-\dfrac{\pi}{3}\le x\le\dfrac{7\pi}{3}\Rightarrow-\dfrac{\pi}{3}\le-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{n\pi}{3}\le\dfrac{7\pi}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{3}{4}\le n\le\dfrac{29}{4}\Rightarrow n=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}\)
Thế vào (2) ta được các nghiệm:
\(x=\left\{-\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12};\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{19\pi}{12};\dfrac{23\pi}{12};\dfrac{9\pi}{4}\right\}\)
Gọi H là trung điểm AB, có lẽ từ 2 câu trên ta đã phải chứng minh được \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}DM\cap\left(SAC\right)=S\\MS=\dfrac{1}{2}DS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)\)
Gọi E là giao điểm AC và DH
Talet: \(\dfrac{HE}{DE}=\dfrac{AH}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow HE=\dfrac{1}{2}DE\)
\(\left\{{}\begin{matrix}DH\cap\left(SAC\right)=E\\HE=\dfrac{1}{2}DE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(H;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)=d\left(M;\left(SAC\right)\right)\)
Từ H kẻ HF vuông góc AC (F thuộc AC), từ H kẻ \(HK\perp SF\)
\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAC\right)\right)\)
ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{HAF}=45^0\Rightarrow HF=AH.sin45^0=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), hệ thức lượng:
\(HK=\dfrac{SH.HF}{\sqrt{SH^2+HF^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)
\(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)
c.
\(\Leftrightarrow sin4x=sin\left(3x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x=3x-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\4x=\dfrac{3\pi}{2}-3x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\dfrac{3\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7}\end{matrix}\right.\)
d.
\(\Leftrightarrow sin\left(2x+30^0\right)=sin\left(30^0+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+30^0=30^0+x+k360^0\\2x+30^0=150^0-x+k360^0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k360^0\\x=40^0+k120^0\end{matrix}\right.\)
e.
\(\Leftrightarrow cos3x=-sinx\)
\(\Leftrightarrow cos3x=cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=\dfrac{\pi}{2}+x+k2\pi\\3x=-\dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
f.
\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\left(sin2x+cos5x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\left(sin2x-sin\left(5x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(5x-\dfrac{\pi}{2}\right)=sin2x\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\dfrac{\pi}{4}=k\pi\\5x-\dfrac{\pi}{2}=2x+k2\pi\\5x-\dfrac{\pi}{2}=\pi-2x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\\x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\\x=\dfrac{3\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7}\end{matrix}\right.\)
(C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y-6\right)^2=9\)
=>tâm là A(2;6) và bán kính là R=3
Tọa độ B(x;y) là ảnh của A(2;6) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)\) là:
x=2+1=3 và y=6+1=7
=>B(3;7)
Gọi (d') là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (d): x+y-1=0
=>(d'): x-y+c=0
Thay x=3 và y=7 vào (d'), ta được:
3-7+c=0
=>c-4=0
=>c=4
=>(d'): x-y+4=0
Tọa độ giao điểm O của (d) và (d') là:
x+y-1=0 và x-y+4=0
=>x+y=1 và x-y=-4
=>x=(1-4)/2=-3/2 và y=x+4=-3/2+4=5/2
=>O(-3/2;5/2)
Gọi C là ảnh của B qua phép đối xứng trục (d): x+y-1=0
=>(d) là đường trung trực của CB
=>(d)⊥BC tại trung điểm của BC
mà (d)⊥BO tại O
và BO,BC có điểm chung là B
nên B,O,C thẳng hàng
=>O là trung điểm của BC
B(3;7); O(-1,5;2,5); C(x;y)
O là trung điểm của BC
=>\(\begin{cases}x+3=2\cdot\left(-1,5\right)=-3\\ y+7=2\cdot2,5=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-6\\ y=-2\end{cases}\)
=>C(-6;-2)
Ảnh của (C) sau khi thực hiện hai phép dời hình là:
\(\left\lbrack x-\left(-6\right)\right\rbrack^2+\left\lbrack y-\left(-2\right)\right\rbrack^2=R^2\)
=>\(\left(x+6\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)
1.a
\(\lim\dfrac{3n^3+2n^2+n}{n^3+4}=\lim\dfrac{n^3\left(3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n^3\left(1+\dfrac{4}{n^3}\right)}\)
\(=\lim\dfrac{3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{1+\dfrac{4}{n^3}}=\dfrac{3+0+0}{1+0}=3\)
b.
\(\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+2x-15}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}{x-3}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\left(x+5\right)=8\)
2.
Ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow5}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^2-25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x-5}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow5}\left(x+5\right)=10\)
Và: \(f\left(5\right)=9\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow5}f\left(x\right)\ne f\left(5\right)\)
\(\Rightarrow\) Hàm gián đoạn tại \(x_0=5\)
3.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x^2-2x-1}{x^3-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(3x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x+1}{x^2+x+1}=\dfrac{3.1+1}{1^2+1+1}=\dfrac{4}{3}\)
b.
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x+3}{x-3}\)
Do: \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\left(x+3\right)=6>0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\left(x-3\right)=0\)
Và \(x-3< 0\) khi \(x< 3\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x+3}{x-3}=-\infty\)
4.
Ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x-2}{x^2-4}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4}\)
Và: \(f\left(2\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\ne f\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\) Hàm gián đoạn tại \(x_0=2\)
5.
a. Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'}\) (đpcm)
b.
\(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{D'D}-\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{BD'}+\overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{BB'}\)
c.
Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \(\Rightarrow\overrightarrow{C'A'}=\overrightarrow{CA}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA'}\right)+\overrightarrow{C'D}\)
\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA'}+\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{C'D}+\overrightarrow{DA'}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C'A'}\)
\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)