Gọi 2k+1,2k+3,2k+52k+1,2k+3,2k+5 là 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp

+) Nếu kk chia hết cho 3 →2k+3→2k+3 chia hết cho 3

+) Nếu kk chia 3 dư 1 →2k+1→2k+1 chia hết cho 3

+) Nếu kk chia 3 dư 2 →2k+5→2k+5 chia hết cho 3 

→→ 3 tự nhiên lẻ tiên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3

→→ Nếu k=1→3,5,7k=1→3,5,7 là số nguyên tố 

      +)Nếu k>1→2k+1,2k+3,2k+5k>1→2k+1,2k+3,2k+5 là 3 số tự nhiên lớn hơn 3 do trong 3 số luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 suy ra số đó là hợp số →k>1→k>1 không có bộ 3 số nào thỏa mãn đề 

Gọi 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp là : p ; p+2 ; p+4

Với p=2 => p+2=4

Vì 4 là hợp số nên p là số nguyên tố khác 2

Với p=3 => p+2=5 => p+4=7

Vì 3, 5 và 7 là các số nguyên tố 

=> 3, 5 và 7 là bộ 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố

p lớn hơn hoặc bằng 3 => p bằng 3k+1 hoặc 3k+2  (k là số tự nhiên khác 0)

Với p=3k+1 => p+2=3k+3 chia hết cho 3 (là hợp số nên loại)

Với p=3k+2 => p+4=3k+6 chia hết cho 3 (là hợp số nên loại)

=> Chỉ có duy nhất bộ 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố

Vậy chỉ có duy nhất bộ 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.

Chúc bạn học tốt!

#Huyền#

là sao ? 

Ta đã biết ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 3,5,7. Ta chứng minh bộ ba này là duy nhất.

Thật vậy, giả sử có ba số nguyên tố lẻ liên tiếp nhau là: a;a+2;a+4.

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a không chia hết cho 3. Vậy a có dạng: a = 3k+1; 3k+2 (k ∈ N)

+ Nếu a = 3k+1 thì a+2 = 3k+3 > 3 và chia hết cho 3 => Hợp số.

+ Nếu a = 3k+2 thì a + 4 = 3k+6 > 3 và chia hết cho 3 => Hợp số.

=>Điều giả sử sai. Vậy có duy nhất bộ ba số tự  nhiên lẻ liên tiếp là số nguyên tố

Câu a) thôi, câu b) chị chưa nghĩ được!

+) 2 số lẻ liên tiếp có dạng là 2n + 1 và 2n + 3 ( n thuộc N )

+) Đặt d thuộc ƯC ( 2n + 1; 2n + 3 ) ( d thuộc N^* )

=> 2n + 1 chia hết cho d

     2n + 3 chia hết cho d

Vậy ( 2n + 3 ) - ( 2n + 1 ) chia hết cho d

<=> 2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư ( 2 )

=> d thuộc {1; 2}

Nhưng d là số lẻ => d ≠ 2 => d = 1

Vậy 2 số lẻ liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau.

A) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là n và n+1.

Gọi ƯCLN của 2 số trên là a, ta có: n chia hết cho a; n+1 chia hết cho a => n+1-n chia hết cho a hay 1 chia hết cho a => a=1 => n và n+1 nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau.

B) Gọi 2 số lẻ liên tiếp là n và n+2. Gọi a là ƯCLN của n và n+2, ta có:

n chia hết cho a; n+2 chia hết cho a => n+2-n chia hết cho a hay 2 chia hết cho a.

Do n; n+2 lẻ nên a lẻ => a=1 => n và n+2 nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.