\(f'\left(x\right)=x^2+2x\)

a.

\(f'\left(-3\right)=3\) ; \(f\left(-3\right)=-2\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=3\left(x+3\right)-2\Leftrightarrow y=3x+7\)

b.

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm, do hệ số góc tiếp tuyến bằng 3

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=3\Rightarrow x_0^2+2x_0=3\Rightarrow x_0^2+2x_0-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=1\Rightarrow y_0=-\dfrac{2}{3}\\x_0=-3\Rightarrow y_0=-2\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=3\left(x-1\right)-\dfrac{2}{3}=3x-\dfrac{11}{3}\\y=3\left(x+3\right)-2=3x+7\end{matrix}\right.\)

c. Tiếp tuyến song song (d) nên có hệ số góc bằng 8

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm \(\Rightarrow x_0^2+2x_0=8\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=2\Rightarrow y_0=\dfrac{14}{3}\\x_0=-4\Rightarrow y_0=-\dfrac{22}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=8\left(x-2\right)+\dfrac{14}{3}=...\\y=8\left(x+4\right)-\dfrac{22}{3}=...\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)

=>\(\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(-2x+\frac56\pi\right)\)

=>\(\left[\begin{array}{l}5x+\frac{\pi}{3}=-2x+\frac56\pi+k2\pi\\ 5x+\frac{\pi}{3}=\pi+2x-\frac56\pi+k2\pi=2x+\frac16\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

=>\(\left[\begin{array}{l}7x=\frac56\pi-\frac{\pi}{3}+k2\pi=\frac12\pi+k2\pi\\ 3x=\frac16\pi-\frac{\pi}{3}+k2\pi=-\frac16\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{14}\pi+\frac{k2\pi}{7}\\ x=-\frac{1}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}\end{array}\right.\)

Ta có: \(x=\frac{1}{14}\pi+\frac{k2\pi}{7}\)

mà \(x\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

nên \(x\in\left\lbrace\frac{1}{14}\pi;\frac{5}{14}\pi;\frac{9}{14}\pi;\frac{13}{14}\pi\right\rbrace\)

Ta có: \(x=-\frac{1}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}\)

mà \(x\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

nên \(x\in\left\lbrace\frac{11}{18}\pi\right\rbrace\)

Tổng các nghiệm thỏa mãn là:

\(\frac{1}{14}\pi+\frac{5}{14}\pi+\frac{9}{14}\pi+\frac{13}{14}\pi+\frac{11}{18}\pi=2\pi+\frac{11}{18}\pi=\frac{47}{18}\pi\)

\(y'=\left(m-1\right)\cos2x\cdot2-2\cdot\sin x-2m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(1-2\sin^2x\right)-\sin x-m=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(1-m\right)\sin^2x-\sin x-1=0\)

bạn tự làm nốt nha

Cảm ơn bạn nha

Bài 2:

a: ĐKXĐ: cos2x+1<>0

=>cos2x<>-1

=>\(2x<>\pi+k2\pi\)

=>\(x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\)

TXĐ là D=R\{\(\frac{\pi}{2}+k\pi\) }

b: ĐKXĐ: 1-cos3x<>0

=>cos3x<>1

=>\(3x<>k2\pi\)

=>\(x<>\frac{k2\pi}{3}\)

=>TXĐ là D=R\{\(\frac{k2\pi}{3}\) }

c: ĐKXĐ: 1+sin2x<>0

=>sin2x<>-1

=>\(2x<>-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x<>-\frac{\pi}{4}+k\pi\)

=>TXĐ là D=R\{\(-\frac{\pi}{4}+k\pi\) }

d: ĐKXĐ: sin 4x-1<>0

=>sin 4x<>1

=>\(4x<>\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x<>\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\)

=>TXĐ là D=R\{\(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\) }

e: ĐKXĐ: \(\frac{3+2\cdot cosx}{1+cosx}\ge0\) (1)

Ta có: \(-1\le cosx\le1\)

=>-2<=2cosx<=2

=>-2+3<=2cosx+3<=2+3

=>1<=2cosx+3<=5

=>2cosx+3>0∀x(2)

Từ (1),(2) suy ra cosx+1>0

=>cosx>-1

=>cosx<>-1

=>\(x<>\pi+k2\pi\)

=>TXĐ là D=R\{\(\pi+k2\pi\) }

f: ĐKXĐ: \(\frac{2-\sin x}{\sin3x-1}\ge0\) (3)

-1<=-sin x<=1

=>-1+2<=-sin x+2<=1+2

=>1<=-sin x+2<=3

=>-sin x+2>0∀x(4)

Từ (3),(4) suy ra sin 3x-1>0

=>sin 3x>1(vô lý)

=>x∈∅

=>TXĐ là D=∅

Bài 3:

a: \(-1\le cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le1\)

=>\(-3\le3\cdot cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le3\)

=>-3<=y<=3

y min=-3 khi \(cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-1\)

=>\(x+\frac{\pi}{6}=\pi+k2\pi\)

=>\(x=\frac56\pi+k2\pi\)

y max=3 khi \(cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\)

=>\(x+\frac{\pi}{6}=k2\pi\)

=>\(x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\)

b: -1<=sin 3x<=1

=>2>=-2 sin 3x>=-2

=>2+1>=-2sin 3x+1>=-2+1

=>3>=y>=-1

y max=3 khi sin 3x=-1

=>\(3x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k2\pi}{3}\)

y min =-1 khi sin 3x=1

=>\(3x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k2\pi}{3}\)

a: Chọn mp(SCD) có chứa CD

Trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của AB và CD

I∈AB⊂(ABK); I∈CD⊂(SCD)

Do đó: I∈(ABK) giao (SCD)(1)

K∈(ABK); K∈SD⊂(SCD)

Do đó: K∈(ABK) giao (SCD)(2)

Từ (1),(2) suy ra (ABK) giao (SCD)=IK

Vì I là giao điểm của IK và CD

nên I là giao điểm của CD và mp(ABK)

=>I trùng với E

b: Chọn mp(SCD) có chứa SC

(ABK) giao (SCD)=EK

Gọi F là giao điêm của EK và SC
=>F là giao điểm của SC và mp(ABK)

y = (2 + cosx) / (sinx + cosx - 2) (1) 
Ta có: sinx + cosx - 2 = √2.sin(x + π/4) - 2 ≤ √2 - 2 < 0 
(1) ⇔ y.(sinx + cosx - 2) = 2 + cosx 
⇔ y.sinx + (y - 1).cosx = 2y + 2 

Phương trình trên có nghiệm ⇔ y² + (y - 1)² ≥ (2y + 2)² 
⇔ y² + y² - 2y + 1 ≥ 4y² + 8y + 4 
⇔ 2y² + 10y + 3 ≤ 0 
⇔ (-5 - √19)/2 ≤ y ≤ (-5 + √19)/2 

Vậy Miny = (-5 - √19)/2 
Maxy = (-5 + √19)/2 

Mình cảm ơn nhiều

Phương trình tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.,k\in Z\)

Xét họ nghiệm \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi,k\in Z\). 

Do \(-\dfrac{\pi}{2}< \dfrac{5\pi}{12}+k\pi< \dfrac{8\pi}{3}\) nên \(-\dfrac{11\pi}{12}< k\pi< \dfrac{9\pi}{4}\)

⇒ \(-\dfrac{11}{12}< k< \dfrac{9}{4}\). Mà k ∈ Z nên k ∈ {0 ; 1}

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp :

S₁ = \(\left\{\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12}\right\}\)

Xét họ nghiệm \(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) với k ∈ Z. 

Do \(-\dfrac{\pi}{2}< \dfrac{-\pi}{4}+k\pi< \dfrac{8\pi}{3}\) nên \(-\dfrac{\pi}{4}< k\pi< \dfrac{35\pi}{12}\)

nên \(-\dfrac{1}{4}< k< \dfrac{35}{12}\). Mà k ∈ Z nên k∈ {0 ; 1 ; 2}

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp 

S₂ = \(\left\{-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)

Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp

S = S₁ \(\cup\) S₂ = \(\left\{\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)

a: \(\widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

Ta có: SA\(\perp\)(ABCD)

=>SA\(\perp\)AC

=>ΔSAC vuông tại A

Vì ABCD là hình vuông

nên \(AC=AD\cdot\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\)

nên \(\widehat{SCA}=60^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=60^0\)

b: Ta có: BD\(\perp\)AC

BD\(\perp\)SA

SA,AC cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BD\(\perp\)(SAC)

\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}=\widehat{SB;SD}=\widehat{BSD}\)

Vì ABCD là hình vuông

nên \(AC=BD=a\sqrt{2}\)

ΔSAD vuông tại A

=>\(SA^2+AD^2=SD^2\)

=>\(SD^2=\left(a\sqrt{6}\right)^2+a^2=7a^2\)

=>\(SD=a\sqrt{7}\)

ΔSAB vuông tại A

=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)

=>\(SB=a\sqrt{7}\)

Xét ΔSBD có \(cosBSD=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2\cdot SB\cdot SD}\)

\(=\dfrac{7a^2+7a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt{7}\cdot a\sqrt{7}}=\dfrac{6}{7}\)

=>\(sinBSD=\sqrt{1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{7}\)

=>\(\widehat{BSD}\simeq31^0\)

=>\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}\simeq31^0\)

a. Ta có : \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow BC\perp SA\)

Đáy ABCD là HV \(\Rightarrow BC\perp AB\) 

Suy ra : \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)\)  ( đpcm ) 

b. \(\left(SBD\right)\cap\left(ABCD\right)=BD\)

O = \(AC\cap BD\)  ; ta có : \(AO\perp BD;AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}a\)

Dễ dàng c/m : \(BD\perp\left(SAC\right)\)  \(\Rightarrow SO\perp BD\)

Suy ra : \(\left(\left(SBD\right);\left(ABCD\right)\right)=\left(SO;AO\right)=\widehat{SOA}\)

\(\Delta SAO\perp\) tại A có : tan \(\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{SOA}\approx54,7^o\) \(\Rightarrow\) ...