\(y=\dfrac{2x-5}{3x-1}\in Z\Rightarrow\dfrac{3\left(2x-5\right)}{3x-1}\in Z\)

\(\Rightarrow\dfrac{6x-15}{3x-1}\in Z\Rightarrow2-\dfrac{13}{3x-1}\in Z\)

\(\Rightarrow13⋮3x-1\Rightarrow3x-1=\left\{-13;-1;1;13\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-4;0\right\}\)

Có 2 điểm có tọa độ nguyên

\(y'=3x^2-2\left(2m-1\right)x+2-m\)

Hàm có các cực trị dương khi pt \(y'=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m-1\right)^2-3\left(2-m\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(2m-1\right)}{3}>0\\x_1x_2=\dfrac{2-m}{3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2-m-5>0\\m>\dfrac{1}{2}\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{5}{4}< m< 2\)

Đề không nói tiệm cận đứng/ ngang/ xiên à bạn?

Bậc tử bằng bậc mẫu nên ĐTHS không có tiệm cận xiên

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3+m}{x^3+mx}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1+\dfrac{m}{x^3}}{1+\dfrac{m}{x^2}}=1\)

\(\Rightarrow y=1\) là tiệm cận ngang

ĐTHS có 4 tiệm cận khi nó có 3 TCĐ 

\(x^3+m=0\Rightarrow x=-\sqrt[3]{m}\)

\(x^3+mx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=-m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)Hàm có 3 TCĐ khi \(m>0\)

\(y'=3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_{CĐ}=y\left(0\right)=m\)

\(y_{CT}=y\left(2\right)=m-4\)

\(y_{CĐ}\) và \(y_{CT}\) trái dấu khi và chỉ khi:

\(m\left(m-4\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 4\)

1: \(y=\frac13\cdot x^3-2mx^2+3x+1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2m\cdot2x+3=x^2-4mx+3\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

=>\(\left(-4m\right)^2-4\cdot1\cdot3>0\)

=>\(16m^2>12\)

=>\(m^2>\frac34\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt3}{2}\\ m<-\frac{\sqrt3}{2}\end{array}\right.\)