Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Điều kiện $a,n,b,c$ là những số nguyên.
Ta có:
\(P=n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)
Ta thấy $n(n-1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$
\(\Rightarrow P=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 2(1)\)
Ta thấy $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
\(\Rightarrow P\vdots 3(2)\)
Mặt khác: \(P=n(n^2-1)(n^2+1)\)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia cho $5$ thì dư $0,1,4$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $0$, suy ra $n\vdots 5$ \(\Rightarrow P\vdots 5\)
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $1$ thì $n^2-1\vdots 5$, suy ra $P\vdots 5$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $4$ thì $n^2+1\vdots 5$, suy ra $P\vdots 5$
Vậy tóm lại $P\vdots 5$ $(3)$
Từ $(1);(2);(3)$ mà $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $P\vdots 60$ (đpcm)
$B=a^5-a$ giống y hệt phần chứng minh $P\vdots 5$ ở trên
c)
Theo công thức hằng đẳng thức:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $a,b,c$ tồn tại it nhất \(\left[\frac{3}{2}\right]+1=2\) số có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử đó là $a,b$. Khi đó $a+b\vdots 2$
\(\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\vdots 6\)
Mà \((a+b+c)^3\vdots 6\) do \(a+b+c\vdots 6\)
Do đó: \(a^3+b^3+c^3\vdots 6\) (đpcm)
a) \(2^n>2n+1\) (1)
Với n=3 thì (1) <=> \(2^3>2.3+1\) (đúng)
Giả sử (1) đúng đến n=k => \(2^k-2k-1>0\)
Ta có: \(2^{k+1}-2\left(k+1\right)-1=2\left(2^k-2k-1\right)+2k-1>0\) (với \(k>3\))
=> \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\) (1) đúng đến n=k+1
Theo quy nạp thì (1) đúng
b) \(2^n\ge n^2\) (2)
Với n=4 thì (2) <=> \(2^4\ge4^2\) (đúng)
Giả sử (2) đúng đến n=k => \(2^k-k^2\ge0\)
Ta có: \(2^{k+1}-\left(k+1\right)^2=2\left(2^k-k^2\right)+\left(k-1\right)^2\ge0\)
=> \(2^{k+1}\ge\left(k+1\right)^2\) => (2) đúng đến n=k+1
Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng