a: \(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot2\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-8m+8=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-2m+1}{2};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-1}{2}\)

\(3x_1+3x_2=3\cdot\frac{-2m+1}{2}=\frac{-6m+3}{2}\)

mà \(3x_1-4x_2=11\)

nên \(3x_1+3x_2-3x_1+4x_2=\frac{-6m+3}{2}-11=\frac{-6m+3-22}{2}=\frac{-6m-19}{2}\)

=>\(7x_2=\frac{-6m-19}{2}\)

=>\(x_2=\frac{-6m-19}{14}\)

\(x_1=\frac{-2m+1}{2}-\frac{-6m-19}{14}=\frac{7\left(-2m+1\right)+6m+19}{14}=\frac{-14m+7+6m+19}{14}=\frac{-8m+26}{14}=\frac{-4m+13}{7}\)

\(x_1x_2=\frac{m-1}{2}\)

=>\(\frac{\left(-6m-19\right)\left(-4m+13\right)}{98}=\frac{m-1}{2}=\frac{49\left(m-1\right)}{98}\)

=>(6m+19)(4m-13)=49(m-1)

=>\(24m^2-78m+76m-247=49m-49\)

=>\(24m^2-51m-198=0\)

=>\(24m^2+49m-99m-198=0\)

=>(m+2)(24m-99)=0

=>m=-2(nhận) hoặc m=99/24=33/8(nhận)

b: \(x_1+x_2+2x_1x_2=\frac{-2m+1}{2}+\frac{2m-2}{2}=\frac{-1}{2}\)

=>Đây là hệ thức không phụ thuộc vào biến x

c: x1>0; x2>0

=>x1+x2>0 và x1x2>0

=>-2m+1>0 và m-1>0

=>-2m>-1 và m>1

=>1/2<m<1

Ta có: D = m − 1 1 1 m − 1 = m 2 − 2 m + 1 − 1 = m 2 − 2 = m ( m − 2 )

D x = 3 m − 4 1 m m − 1 = 3 m − 4 m − 1 − m = m 2 − 8 m + 4 = ( m − 2 ) ( 2 m − 3 )

D y = m − 1 3 m − 4 1 m = m 2 − m − 3 m + 4 = m 2 − 4 m + 4 = ( m − 2 ) 2

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ D ≠ 0 ⇔ m ( m − 2 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 m ≠ 2 ⇒ x = D x D = 3 m − 2 m     ( 1 ) y = D y D = m − 2 m     ( 2 )

Từ (1) ⇔ x m = 3 m - 2 ⇔ m = 2 3 − x

Thay vào (2) ta được:  y = 1 - 2 m = 1 - ( 3 - x ) = x - 2

Vậy y = x – 2

Đáp án cần chọn là: A

Hệ:  m x + 3 m − 2 y + m − 3 = 0 2 x + m + 1 y − 4 = 0 ⇔ m x + 3 m − 2 y = 3 − m 2 x + m + 1 y = 4

Ta có:

D = m 3 m − 2 2 m + 1 = m 2 − 5 m + 4 = m − 1 m − 4

D x = 3 − m 3 m − 2 4 m + 1

= 3 − m m + 1 − 4 3 m − 2 = − m + 11 = 1 − m m + 11

D y = m 3 − m 2 4 = 4 m − 6 + 2 m = 6 m − 6 = 6 m − 1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⇔ D ≠ 0 ⇔ m − 1 m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 m ≠ 4

⇒ x = D x D = 1 − m m + 11 m − 1 m − 4 = m + 11 4 − m     ( 1 ) y = D y D = 6 m − 1 m − 1 m − 4 = 6 m − 4     ( 2 )

Từ 2 ⇒ m − 4 y = 6 ⇔ m y = 6 + 4 y ⇔ m = 6 + 4 y y = 6 y + 4

Thay vào (1) ta được:

x = 6 y + 4 + 11 : 4 − 6 y − 4 = − 6 + 15 y 6 = − 1 − 15 6 y

Đáp án cần chọn là: C

Vì  3 x - 1 ≥ 0 x + m ≤ 2 ⇔ x ≥ 1 3 x ≤ 2 - m .

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 1 3 = 2 - m ⇔ m = 5 3 .

a. Hệ có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow m\ne\pm2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\mx+m^2y=4m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\\left(m^2-4\right)y=5m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{5}{m+2}\\x=\dfrac{-m+8}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Để \(x>0,y>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{m+2}>0\\\dfrac{-m+8}{m+2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-2< m< 8\)

\(\Rightarrow m=\left\{-1;0;...;7\right\}\)

b. Hệ có nghiệm là các số dương khi \(-2< m< 8\)

Chọn D

Chọn D

Hệ có nghiệm khi và khỉ khi \(m\ge\min\limits_{x^2+y^2=1}\left(x+y\sqrt{3}\right)\)

Ta có: \(\left(x.1+y.\sqrt{3}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+3\right)=4\)

\(\Rightarrow-2\le x+y\sqrt{3}\le2\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge-2\)

tại sao phải là m>= min mà không phải mà max ạ