Câu hỏi của Hoàng Mai Linh

Question

It is known that Qn + 1=1/1+1/Qn for n = 1,2,3,4,...,2017,2018. . Evaluate Q1Q2+Q2Q3+...+Q2017Q2018 where Q1 = 1

DỊCH

Biết rằng Qn + 1 = 1/1 + 1 / Qn với n = 1,2,3,4, ..., 2017,2018...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Chắc đề là thế này: $Q_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{Q_n}}$

Từ đây suy ra: $\frac{1}{Q_{n+1}}=1+\frac{1}{Q_n}$

$\Rightarrow\frac{1}{Q_{n+1}}-\frac{1}{Q_n}=1$

$\Rightarrow\frac{Q_n-Q_{n+1}}{Q_n.Q_{n+1}}=1$

$\Rightarrow Q_n.Q_{n+1}=Q_n-Q_{n+1}$

$Q_1Q_2+Q_2Q_3+...+Q_{2017}Q_{2018}=Q_1-Q_2+Q_2-Q_3+...+Q_{2017}-Q_{2018}$

$=Q_1-Q_{2018}=1-Q_{2018}$

Nếu cần tính 1 cách tuyệt đối chính xác:

Đặt $\frac{1}{Q_n}=P_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_1=\frac{1}{Q_1}=1\P_{n+1}=P_n+1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P_1=1$

$P_2=P_1+1$

$P_3=P_2+1$

....

$P_{2018}=P_{2017}+1$

Cộng vế với vế ta được:

$P_1+P_2+...+P_{2018}=P_1+P_2+...+P_{2017}+2018$

$\Rightarrow P_{2018}=2018$

$\Rightarrow Q_{2018}=\frac{1}{P_{2018}}=\frac{1}{2018}$

$\Rightarrow Q_1Q_2+Q_2Q_3+...+Q_{2017}Q_{2018}=1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}$

Câu trả lời: