c.

K thuộc AD nên BC song song DK

Áp dụng định lý Talet: \(\dfrac{BN}{KN}=\dfrac{CN}{DN}=1\Rightarrow BN=KN\) hay N là trung điểm BK

\(\Rightarrow\) BCKD là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Theo câu b, E, M, N thẳng hàng nên Q nằm trên MN (1)

Mà MN là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow MN||AD\Rightarrow MN\perp AB\) (2)

Mà M là trung điểm AB (3)

(2);(3) \(\Rightarrow\) MN là trung trực AB (4)

(1);(4) \(\Rightarrow QB=QA\)

d.

Hạ CH vuông góc AD

Trong tam giác vuông CHK: \(cosKAC=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.cos\widehat{KAC}\)

Pitago: \(CH^2+AH^2=AC^2\)

Do đó: \(CK^2=CH^2+HK^2=CH^2+\left(AK-AH\right)^2=CH^2+AH^2+AK^2-2AK.AH\)

\(=AC^2+AK^2-2AK.AC.cos\widehat{KAC}\) (đpcm)

Vì $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ nên theo định lý đường trung bình:

$MN\parallel AC,\quad NP\parallel BD$

$PQ\parallel AC,\quad QM\parallel BD$

Mà $AC\perp BD$ nên:

$MN\perp NP$

Suy ra $\widehat{MNP}=90^\circ$.

Tương tự:

$\widehat{MQP}=90^\circ$.

Do đó:

$\widehat{MNP}=\widehat{MQP}=90^\circ$

Suy ra $M,N,P,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MP$.

Vậy $\boxed{M,N,P,Q\text{ cùng thuộc một đường tròn}}$.

@ Trần Ngọc Huyền @  Em lần sau nhớ chia bài ra đăng nhiều lần nhé! . 

Đồng ý với cô Nguyễn Thị Linh Chi

Đăng nhiều thế mới nhìn đã choáng

Ta có MNPQ là hình chữ nhật tâm O => M,N,P,Q cùng thuộc (O;OM)

a: Gọi O là giao điểm của BC và AD

Xét ΔOAD vuông tại A có \(\hat{ODA}=45^0\)

nên ΔOAD vuông cân tại A

=>AO=AD

BC//AD
=>\(\hat{OCB}=\hat{ODA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OCB}=45^0\)

Xét ΔOBC vuông tại B có \(\hat{OCB}=45^0\)

nên ΔOBC vuông cân tại B

=>BO=BC=6(cm)

OB+BA=OA

=>OA=6+8=14(cm)

ΔOAD vuông cân tại A

=>AD=AO

=>AD=14(cm)

ΔOBC vuông tại B

=>\(OB^2+BC^2=OC^2\)

=>\(OC^2=6^2+6^2=72\)

=>\(OC=6\sqrt2\) (cm)

Xét ΔOAD có BC//AD
nên \(\frac{OC}{CD}=\frac{OB}{BA}\)

=>\(\frac{6\sqrt2}{CD}=\frac68=\frac34=\frac{6\sqrt2}{8\sqrt2}\)

=>\(CD=8\sqrt2\) (cm)

b: Xét ΔABC có

M,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MF là đường trung bình cua ΔABC

=>MF//BC

Xét ΔBAD có

M,E lần lượt là trung điểm của BA,BD

=>ME là đường trung bình của ΔBAD

=>ME//AD
mà AD//BC

nên ME//BC

Xét ΔDBC có

E,N lần lượt là trung điểm của DB,DC

=>EN là đường trung bình của ΔDBC

=>EN//BC

MF//BC

ME//BC

mà MF,ME có điểm chung là M

nên M,F,E thẳng hàng(1)

ME//BC

EN//BC

mà ME,EN có điểm chung là E

nên M,E,N thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,F,E,N thẳng hàng