Ta có: 
7/12 = 4/12 + 3/12 = 1/3 + 1/4 = 20/60 + 20/80 
và 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 = (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) + (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80) 
Do 1/41> 1/42 > 1/43 > ...>1/59 > 1/60 
=> (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) > 1/60 + ...+ 1/60 = 20/60 
và 1/61> 1/62> ... >1/79> 1/80 
=> (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80) > 1/80 + ...+ 1/80 = 20/80 
Vậy 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 20/60 + 20/80 = 7/12 

a

sai rồi B

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)

\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)

để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)

từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)

ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)

vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc

suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)

giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)

giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau

\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)

ta đc điều phải cm

.

P = 7 + 7² + 7³ + ... + 7²⁰¹⁶

=> P = 7( 1 + 7 + 7² + 7³) + ... + 7²⁰¹³( 1 + 7 + 7² + 7³)

=> P = 7( 1 + 7 + 49 + 343) + ... + 7²⁰¹³( 1 + 7 + 49 + 343)

=> P = 7 . 400 + ... + 7²⁰¹³ . 400

=> P = (7 + ... + 7²⁰¹³) . 400

=> P = (7 + ... + 7²⁰¹³) . 20² (đpcm)

chịu

vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)

vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3

ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2

vậy ta tìm đc a và b

ta có \(y=\frac{3\left(x+1\right)}{x-2}=3+\frac{9}{x-2}\) để các điểm trên C có tọa độ nguyên thì (x,y) nguyên

suy ra (x-2) là ước của 9

mà \(Ư\left\{9\right\}=\left\{\pm9;\pm3;\pm1\right\}\)

TH1: x-2=-9 suy ra x=-7 suy ra y=3-1=2

th2: x-2=9 suy ra x=11 suy ra y=3+1=4

th3:x-2=-3 suy ra x=-2 suy ra y=3-3=0

th4: x-2=3 suy ra x=5 suy ra y=3+3=6

th5:x-2=1 suy ra x=3 suy ra y=3+9=12

th6: x-2=-1 suy ra x=1 suy ra y=3-9=-6

kết luận....

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

a+b>c =>c-a<b =>c²-2ac+a²<b²

a+c>b =>b-c <a =>b²-2bc+c²<a²

b+c>a =>a-b<c =>a²-2ab+b²<c²

Suy ra: c²-2ac+a²+b²-2bc+c²+a²-2ab+b²<a²+b²+c²

<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a²+b²+c²)<a²+b²+c²

<=>-2(ab+bc+ca)<-(a²+b²+c²)

<=>2.(ab+bc+ca)<a²+b²+c²

\(\left(1-2x\right)^3=\left(-2\right)^3\)

\(1-2x=-2\)

\(-2x=-2-1\)

\(-2x=-3\)

\(x=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\)

\(\left(1-2x\right)^3=-8\) 

\(\left(1-2x\right)^3=\left(-2\right)^3\) 

\(\Rightarrow1-2x=-2\) 

        \(2x=3\) 

         \(x=\frac{3}{2}\)