Áp dụng BĐT Bunhiacopxki (cho tất cả các bài):

1.

\(\left(3x+4y\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(x^2+y^2\right)=25\)

\(\Rightarrow\left|3x+4y\right|\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

2.

\(\left(x+2y\right)^2=\left(1.x+\sqrt{2}.\sqrt{2y}\right)^2\le\left(1+2\right)\left(x^2+2y^2\right)=3\)

\(\Rightarrow\left|x+2y\right|\le\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}};\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

4.

a.

Áp dụng Bunhiacopxki:

\(\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

3.

Từ giả thiết:

\(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=9\)

Ta có:

\(\left|x+2y+2z-20\right|=\left|x-1+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)-17\right|\)

\(\Rightarrow\left|x+2y+2z-20\right|\le\left|x-1+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)\right|+17\)

Lại có:

\(\left[\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)\right]^2\le\left(1+4+4\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2\right]=81\)

\(\Rightarrow\left|x-1+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)\right|\le9\)

\(\Rightarrow\left|x+2y+2z-20\right|\le9+17=26\)

\(\Rightarrow A_{max}=26\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;-3\right)\)

Thank kiuuuu

4b.

\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)

\(=\left(ab+ac+bc+ab+ac+bc\right)\left(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{ab+ac}.\sqrt{\dfrac{a^2}{ab+ac}}+\sqrt{bc+ab}.\sqrt{\dfrac{b^2}{bc+ab}}+\sqrt{ac+bc}.\sqrt{\dfrac{c^2}{ac+bc}}\right)^2\)

\(=\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Tại sao lai =3/5 ,4/5 vậy ạ

Giải thích với ạ

Cho tôi mẹo để làm bài này được ko ạ .mong đk bn rep sớm

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\\dfrac{x^2}{3^2}=\dfrac{y^2}{4^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9}{25}\\y^2=\dfrac{16}{25}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right);\left(-\dfrac{3}{5};-\dfrac{4}{5}\right)\)

Các bài khác tìm dấu "=" tương tự

\(\left(\sqrt{b+c}^2+\sqrt{c+a}^2+\sqrt{a+b}^2\right)\left(\sqrt{\dfrac{a^2}{b+c}}^2+\sqrt{\dfrac{b^2}{c+a}}^2+\sqrt{\dfrac{c^2}{a+b}}^2\right)\)

Áp Bunhiacopxki cho nó là được

Mỗi bài cs mẹo ko ạ

Mong đk bn rep sớm ạ

Mẹo ở đây là làm nhiều thành quen thôi. Riêng câu 4 có rất nhiều cách chứng minh chứ ko chỉ cách này (sử dụng Cô-si hoặc C-S đều có thể làm được)

Bạn cs thể giải thích đoạn đaauf đk ko ạ