Đặt n=100

\(\underbrace{11\dots1}_{n} = \frac{10^n - 1}{9}\)

\(\underbrace{22\dots2}_{n} = 2 \cdot \underbrace{11\dots1}_{n} = 2 \cdot \frac{10^n - 1}{9}\)

\(A = \underbrace{11\dots1}_{n} \cdot 10^n + \underbrace{22\dots2}_{n}\)

=>\(A = \left(\frac{10^n - 1}{9}\right) \cdot 10^n + 2 \cdot \left(\frac{10^n - 1}{9}\right)\)

=>\(A = \frac{10^n - 1}{9} \cdot (10^n + 2)\)

TA có: \(10^{n}\equiv1\pmod3\)

=>\(10^n - 1\) ⋮3

=>\(\frac{10^{n}-1}{3}\) là số tự nhiên

\(10^n + 2 = 10^n - 1 + 3\)

mà \(10^{n}-1\) ⋮3; 3⋮3

nên \(10^{n}+2\) ⋮3

=>\(\frac{10^n + 2}{3}\) là số tự nhiên

\(\frac{10^n + 2}{3} - \frac{10^n - 1}{3} = \frac{10^n + 2 - 10^n + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1\)

=>\(\frac{10^{n}+2}{3};\frac{10^{n}-1}{3}\) là hai số tự nhiên liên tiếp

\(A = \left(\frac{10^{100} - 1}{3}\right) \cdot \left(\frac{10^{100} + 2}{3}\right)\)

mà \(\frac{10^{100} - 1}{3} = \frac{\underbrace{99\dots9}_{100 \text{ chữ số } 9}}{3} = \underbrace{33\dots3}_{100 \text{ chữ số } 3}\)

và \(\frac{10^{100} + 2}{3} = \frac{10^{100} - 1 + 3}{3} = \frac{10^{100} - 1}{3} + 1 = \underbrace{33\dots3}_{100 \text{ chữ số } 3} + 1 = \underbrace{33\dots3}_{99 \text{ chữ số } 3}4\)

nên \(A=\underbrace{11\dots1}_{100\text{ chữ số }1}\underbrace{22\dots2}_{100\text{ chữ số }2}=\underbrace{33\dots3}_{100\text{ chữ số }3}\times\underbrace{33\dots3}_{99\text{ chữ số }3}4\)

=>A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp