a) Ta có:

\(A\left(x\right)=x^3-30x^2-31x+1\)

\(A\left(x\right)=x^3-31x^2+x^2-31x+1\)

\(A\left(x\right)=\left(x^3-31x^2\right)+\left(x^2-31x\right)+1\)

\(A\left(x\right)=x^2.\left(x-31\right)+x.\left(x-31\right)+1\)

\(A\left(x\right)=\left(x-31\right).\left(x^2+x\right)+1\)

+ Thay \(x=31\) vào biểu thức \(A\left(x\right)\) ta được:

\(A\left(x\right)=\left(31-31\right).\left(31^2+31\right)+1\)

\(A\left(x\right)=0.992+1\)

\(A\left(x\right)=0+1\)

\(A\left(x\right)=1.\)

Vậy giá trị của biểu thức \(A\left(x\right)\) là \(1\) tại \(x=31.\)

chủ yếu dạng này là thêm bớt đẻ có hạng tử là x²+x+1 thôi, ko hiểu thì hỏi mình, mình cho cách làm nhé

Cái này bạn phải chứng minh bổ đề phụ nhá

\(n=1\)ta thấy thõa mãn

Nếu \(n\ge2\)thì \(n^{1998}+n^{1987}+1>n^2+n+1\)

Măt khác : \(n^{1988}+n^{1987}+1=n^2\left(n^{1986}-1\right)+n\left(n^{1986}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Nên \(n^2+n+1\)| \(n^{1988}+n^{1987}+1\)

Vậy \(n^{1988}+n^{1987}+1\)  là hợp số

Mik có sửa lại cái đề mới nãy của bạn ( bạn xem lại đề bài bạn cho có đúng không nhé )

\(A=x^2+10y^2+2x-6xy-10y+25\)

=> \(A=x^2+2x\left(1-3y\right)+\left(1-3y\right)^2-\left(1-3y\right)^2-10y+25\)

=> \(A=\left(x+1-3y\right)^2-1+6y-9y^2-10y+25\)

=> \(A=\left(x+1-3y\right)^2-9y^2-4y+24\)

=> \(A=\left(x+1-3y\right)^2-\left(3y\right)^2-2.3y.\frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^2+\frac{220}{9}\)

=> \(A=\left(x+1-3y\right)^2-\left(3y+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{220}{9}\)

Có \(\left(x+1-3y\right)^2\ge0\)với mọi x, y

\(\left(3y+\frac{2}{3}\right)^2\ge0\)với mọi y

=> \(A=\left(x+1-3y\right)^2-\left(3y+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{220}{9}\ge\frac{220}{9}\)với mọi x, y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(x+1-3y\right)^2=0\)<=> \(x+1-3y=0\)

và \(\left(3y+\frac{2}{3}\right)^2=0\)=> \(3y+\frac{2}{3}=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-5}{3}\\y=\frac{-2}{9}\end{cases}}\)

Bổ xung phần kết luận

KL: A_min = \(\frac{220}{9}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-5}{3}\\y=\frac{-2}{9}\end{cases}}\)

Đặt \(a=\frac{1}{4453};b=\frac{1}{1997}\)ta có :

\(5\frac{6}{4453}\cdot\frac{1}{1997}-\frac{2}{1997}\cdot2\frac{3}{4453}\)

\(=\left(5+6a\right)\cdot b-2b\left(2+3a\right)\)

\(=5b+6ab-4b-6ab\)

\(=b=\frac{1}{1997}\)

Ta có :

\(\dfrac{1997^2-1996^2}{1997^2+1996^2}=\dfrac{1.\left(1997+1996\right)}{1997^2+1996^2}=\dfrac{3993}{1997^2+1996^2}\)

Lại có : \(\dfrac{1}{3993}=\dfrac{3993}{3993^2}\)

Do \(3993^2=\left(1997+1996\right)^2>1997^2+1996^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{3993}{3993^2}< \dfrac{3993}{1997^2+1996^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3993}< \dfrac{1997^2-1996^2}{1997^2+1996^2}\)