Ta có : \(y'=4x^3+12mx^2+6\left(m+1\right)x=2x\left(2x^2+6mx+3\left(m+1\right)\right)\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc 

               \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=2x^2+6mx+3m+3=0\)

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi \(f\left(x\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=3\left(3m^2-2m-2\right)>0\\f\left(0\right)\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< \frac{1-\sqrt{7}}{3}\cup m>\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\m\ne-1\end{cases}\)

b) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 

\(\Leftrightarrow\) hàm số không có 3 cực trị \(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le\frac{1+\sqrt{7}}{3}\)

câu b m= -1 hàm số có 1 cực tiểu duy nhất

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Theo mình:

để hàm số đồng biến, đk cần là y'=0.

a>0 và \(\Delta'< 0\)

nghịch biến thì a<0 

vì denta<0 thì hầm số cùng dấu với a

mình giải được câu a với b

câu c có hai cực trị thì a\(\ne\)0, y'=0, denta>0 (để hàm số có hai nghiệm pb) 

câu d dùng viet

câu e mình chưa chắc lắm ^^

Giải:

a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)

Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\) có \(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)

b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)

Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.

Nếu \(m>0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.

Nếu \(m<0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương

Từ hai TH ta có đpcm.

c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)

Kết hợp với định lý Viete:

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)

\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)

Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)

Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :

\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)

Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)

                                                                              \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)

Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)

a) Hàm có cực đại, cực tiểu khi mà $y'=-3x^2+2(m-1)x=x[2(m-1)-3x]$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2(m-1)-3x=0$ có một nghiệm khác $0$ hay $m\neq 1$

b) Đồ thị hàm số $(\star)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi mà phương trình $y=-x^3+(m-1)x^2-m+2=0$ có $3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (1-x)[x^2+x(2-m)+(2-m)]=0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow x^2+x(2-m)+(2-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

Do đó ta cần có $\left\{\begin{matrix}1+2-m+2-m=5-2m\neq 0\\ \Delta =(2-m)^2-4(2-m)>0\end{matrix}\right.$

Vậy để thỏa mãn đề bài thì $m\neq \frac{5}{2}$ và $m>2$ hoặc $m<-2$

c) Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là $(x_0,y_0)$

$y_0=-x_0^3+(m-1)x_0^2-m+2$ $\forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m(x_0^2-1)-(x_0^3+x_0^2+y_0-2)=0$ $\forall m\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow\left{\begin{matrix}x_0^2=1\\ x_0^3+x_0^2+y_02=0\end{matrix}\right.\begin{bmatrix}(x_0,y_0)=(1;0)\\ (x_0,y_0)=(-1;2)\end{bmatrix}$

Viết lại đoạn cuối:

$\Rightarrow\left{\begin{matrix}x_0^2=1\\x_0^3+x_0^2+y_0-2=0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \begin{bmatrix}(x_0,y_0)=(1;0)\\ (x_0,y_0)=(-1;2)\end{bmatrix}$

Mọi người giải nhanh giúp mình mấy câu này với ạ

Mọi người giúp mình giải mấy câu này với ạ

Câu 1:

Ta có: \(y=x^4-2x^2+2\Rightarrow y'=4x^3-4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(A(0;2);B(1;1);C(-1;1)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=\sqrt{(0-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\\ BC=\sqrt{(1--1)^2+(1-1)^2}=2\\ AC=\sqrt{(0--1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vì \(AB^2+AC^2=BC^2\) nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=1\)

Đáp án A

Câu 2:

Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì:

\(y'=-3(m^2+5m)x^2+12mx+6=0\) tại $x=1$

hay \(-3(m^2+5m)+12m+6=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m=1; m=-2\)

Với m=1:

Hàm số trở thành:

\(y=-6x^3+6x^2+6x-6\)

\(y'=-18x^2+12x+6=0\Leftrightarrow x=1; x=-\frac{1}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy thỏa mãn

Với m=-2

Hàm trở thành: \(y=6x^3-12x^2+6x-6\)

\(y'=18x^2-24x+6=0\Leftrightarrow x=1; x=\frac{1}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy tại $x=1$ đạt cực tiểu nên không thỏa mãn

Vậy m=1

Đáp án A

Câu 2:

$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$

Hai điểm cực trị cùng dương khi:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$

Đáp án C.

Câu 2:

Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:

$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow m^2-4< 0$

$\Leftrightarrow -2< m< 2$

Đáp án A.