BÀi 1:

a: \(\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=x^2+2x\)

=>\(2x^2+3x-4x-6=x^2+2x\)

=>\(x^2-3x-6=0\)

=>\(x^2-3x+\frac94-\frac{33}{4}=0\)

=>\(\left(x-\frac32\right)^2=\frac{33}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-\frac32=\frac{\sqrt{33}}{2}\\ x-\frac32=-\frac{\sqrt{33}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{33}+3}{2}\\ x=\frac{-\sqrt{33}+3}{2}\end{array}\right.\)

b: \(\frac{x+1}{x-2}+\frac{x-3}{x+2}=\frac{2\left(x^2+2\right)}{x^2-4}\) (ĐKXĐ: x<>2; x<>-2)

=>\(\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)+\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{2\left(x^2+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

=>\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)+\left(x-3\right)\left(x-2\right)=2x^2+4\)

=>\(x^2+3x+2+x^2-5x+6=2x^2+4\)

=>-2x+8=4

=>-2x=-4

=>x=2(loại)

c: |4x-5|+2x=1

=>|4x-5|=1-2x

=>\(\begin{cases}1-2x\ge0\\ \left(4x-5\right)^2=\left(1-2x\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x\le1\\ \left(4x-5-1+2x\right)\left(4x-5-2x+1\right)=0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\le\frac12\\ \left(6x-6\right)\left(2x-4\right)=0\end{cases}\)

=>x∈∅

d: 3x-|7-2x|=1-x

=>3x-|2x-7|=1-x

=>|2x-7|=3x-1+x=4x-1

=>\(\begin{cases}4x-1\ge0\\ \left(4x-1\right)^2=\left(2x-7\right)^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4x\ge1\\ \left(4x-1-2x+7\right)\left(4x-1+2x-7\right)=0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge\frac14\\ \left(2x+6\right)\left(6x-8\right)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge\frac14\\ x\in\left\lbrace-3;\frac43\right\rbrace\end{cases}\Rightarrow x=\frac43\)

Bài 5:

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2\)

=>BC=25(cm)

\(BA^2=BH\cdot BC\)

=>BH=15^2/25=9(cm)

BH+CH=BC

=>CH=25-9=16(cm)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot25=15\cdot20=300\)

=>AH=300/25=12(cm)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>MN=AH=12(cm)

\(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\frac{MN}{CB}\right)^2=\left(\frac{12}{25}\right)^2=\frac{144}{625}\)

=>\(S_{AMN}=\frac{144}{625}\cdot S_{ABC}=\frac{144}{625}\cdot\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac{72}{625}\cdot15\cdot20=34,56\left(\operatorname{cm}^2\right)\)