Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

\(a+b+c=\frac{3}{2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)

hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{9}{4}\)

Suy ra \(a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta có BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) (tự c/m,không làm được ib)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge\frac{9}{4}-2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{4}-2.\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{3}=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)

Easy!

Ta có: \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)

Tương tự: \(b^2+\frac{1}{4}\ge b;c^2+\frac{1}{4}\ge c\)

Cộng 3 bđt vế theo vế ta được:

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/2

\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)=0

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+ab^2+ac^2-a^2b-a^2c-abc+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-\)

\(abc-b^2c+ca^2+bc^2+c^3-abc-ac^2-bc^2\)=0

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\Leftrightarrow a^3+b^3-3abc=-c^3\)

bạn thử tra mạng đi

Bài làm:

Ta có: \(a+b^2+c^3=\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(c^3+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

\(\ge2.1+3.1+4.1-6=3\)

Dấu "=" <=> \(\hept{\begin{cases}a^2=1\\b^3=1\\c^4=1\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)

Học tốt!!!!

Ta có a/(a+b+c)<a/(a+b)<a+c/a+b+c ( Cái này là vì a/a+b <1)

Tương tự vậy với mấy cái kia cx thế cộng theo vế là ra nha bạn 

Có ai giải rõ hơn k z ???

1. (a+b)^2 ≥ 4ab

<=> a²+2ab+b²≥ 4ab

<=> a²+2ab+b²-4ab≥ 0

<=> a²-2ab+b²≥ 0

<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )

2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)

Trả lời hộ mình đi