Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
$\Rightarrow AC = a\sqrt2$
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB,\ SA \perp BC$.
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Do đó, bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AB$.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A.HKB$ có:
- Đường kính: $AB = a$
- Bán kính: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKB$ là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Đáp án B
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, HC. IE là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, IF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC.
⇒ IA=IB=IC=IH=IK
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHKB.
Suy ra bán kính R= a 2 2
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$
Do $SA \perp (ABC)$ nên: $SA \perp AB,\ SA \perp BC$
Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,\ SC$.
Khi đó: $AH \perp SB,\ AK \perp SC$
=> $\angle AHB = 90^\circ,\ \angle AKB = 90^\circ$
Xét tứ diện $A.HKB$.
Ta có:
$AH \perp SB$ và $BH \subset SB \Rightarrow AH \perp BH$
$\Rightarrow \triangle AHB$ vuông tại $H$
Tương tự, $\triangle AKB$ vuông tại $K$
Vậy bốn điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Do đó:
- Đường kính mặt cầu: $AB = a$
- Bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8}$
$V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
Vậy Thể tích khối cầu cần tìm là: $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$
S A B C M
Ta có : \(SA\perp BC\), \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow SB\perp BC\)
Do đó : góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat{SBA}=30^0\)
\(V_{S.ABM}=\frac{1}{2}V_{S.ABC}=\frac{1}{2}SA.AB.BC\)
\(BC=AB=a;SA=AB.\tan30^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(V_{s.ABM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{36}\)
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$
Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
$H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AH\perp SB$
$K$ là hình chiếu của $A$ lên $SC$ nên $AK\perp SC$
Suy ra: $\widehat{AHB}=90^\circ$
$\widehat{AKB}=90^\circ$
Do đó các điểm $A,H,K,B$ cùng nằm trên mặt cầu có đường kính $AB$.
Bán kính mặt cầu: $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Thể tích khối cầu:
$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ $=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^3$ $=\dfrac{\pi a^3}{6}$
a)
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.
Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:
$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AB}$
$\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SA}{a} \Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3}$
$= \dfrac{a^3}{12}$.
b)
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC$.
Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5a$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$
$\sqrt3 = \dfrac{5a}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{5a}{\sqrt3}$.
Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{5a}{\sqrt3} = \dfrac{5a^2}{2\sqrt3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac13 \cdot \dfrac{5a^2}{2\sqrt3} \cdot 5a$
$= \dfrac{25a^3}{6\sqrt3}
= \dfrac{25\sqrt3 a^3}{18}$.
a)
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.
Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:
$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AB}$
$\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SA}{a} \Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3}$
$= \dfrac{a^3}{12}$.
b)
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC$.
Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5a$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$
$\sqrt3 = \dfrac{5a}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{5a}{\sqrt3}$.
Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{5a}{\sqrt3} = \dfrac{5a^2}{2\sqrt3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$
$= \dfrac13 \cdot \dfrac{5a^2}{2\sqrt3} \cdot 5a$
$= \dfrac{25a^3}{6\sqrt3}
= \dfrac{25\sqrt3 a^3}{18}$.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$
Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot BC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$
$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.
Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$
Vì tam giác vuông cân tại $B$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$
$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$
$V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$
$(SAB)\perp(ABC)$ và $(SAC)\perp(ABC)$
$\Rightarrow SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của hình chóp $S.ABC$.
$SB$ tạo với $(ABC)$ góc $60^\circ$
$\Rightarrow \sin 60^\circ=\dfrac{SA}{SB}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SB$
$\Rightarrow SB=\dfrac{2}{\sqrt{3}}SA$
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $BA=BC=a$
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$:
$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot SA =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot SA =\dfrac{a^2SA}{6}$
$M,N$ là trung điểm của $SB,SC$
$\Rightarrow BMNC$ là thiết diện song song với đáy
$\Rightarrow$ khối $A.BMNC$ có thể tích bằng $\dfrac{1}{4}$ thể tích khối $S.ABC$.
$V_{A.BMNC}=\dfrac{1}{4}V_{S.ABC} =\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a^2SA}{6} =\dfrac{a^2SA}{24}$
Mà $SA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
$\Rightarrow V_{A.BMNC}=\dfrac{a^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a}{24} =\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$
Chọn C.