\(x^2-5mx-4m=0\)

Xét \(\Delta=25m^2+16m>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\frac{16}{25}\\x>0\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m\\x_1x_2=-4m\end{matrix}\right.\)

Vì x₁ và x₂ là nghiệm pt nên

\(x_1^2-5mx_1-4m=0\Leftrightarrow x_1^2=5mx_1+4m\)

\(x_2^2-5mx_2-4m=0\Leftrightarrow x_2^2=5mx_2+4m\)

\(A=\frac{m^2}{5mx_1+16m+5mx_2}+\frac{5mx_2+16m+5mx_1}{m^2}\)

\(=\frac{m^2}{5m.5m+16m}+\frac{5m.5m+16m}{m^2}\)

\(=\frac{m}{25m+16}+\frac{25m+16}{m}\)

Tự giải tiếp

\(\frac{1}{2x-x^2+1}=\frac{1}{2-\left(x^2-2x+1\right)}=\frac{1}{2-\left(x-1\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=1

bài này có GTLN thôi bạn 

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+4m+3\right)=-2m-2\)

Để pt luôn có 2 nghiệm 

\(-2m-2\ge0\Leftrightarrow m+1\le0\Leftrightarrow m\le-1\)

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

\(A=\left|x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)\right|\)

\(=\left|m^2+4m+3+4\left(m+1\right)\right|=\left|m^2+8m+7\right|\)

\(=\left|m^2+8m+16-9\right|=\left|\left(m+4\right)^2-9\right|\)

Ta có : \(m\le-1\Rightarrow m+4\le3\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2\le9\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2-9\le0\Rightarrow\left|\left(m+4\right)^2-9\right|\le\left|0\right|=0\)

Vậy với m = -1 thì A đạt GTNN là 0 

Lời giải:

$x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0$

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(m^2+4m+3)\geq 0$

$\Leftrightarrow -2m-2\geq 0\Leftrightarrow m\leq -1$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=-2(m+1)$

$x_1x_2=m^2+4m+3$
Khi đó:

$A=|x_1x_2-2x_1-2x_2|$

$=|x_1x_2-2(x_1+x_2)|=|m^2+4m+3+4(m+1)|=|m^2+8m+7|$

$=|(m+1)(m+7)|\geq 0$ với mọi $m\leq -1$

Vậy GTNN của $A$ là $0$ khi $m=-1$