Câu hỏi của Phúc Tiến

Question

Giúp mình bài 7 câu c với

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a: Xét tứ giác ADME có

AD//ME

AE//MD

Do đó: ADME là hình bình hành

Hình bình hành ADME có $\hat{DAE}=90^0$

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

MD//AC

AB⊥ AC

do đó: MD⊥AB tại D

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

=>AMBI là hình bình hành

Hình bình hành AMBI có AB⊥MI

nên AMBI là hình thoi

c: Xét tứ giác APHQ có $\hat{APH}=\hat{AQH}=\hat{PAQ}=90^0$

nên APHQ là hình chữ nhật

=>$\hat{AQP}=\hat{AHP}$

mà $\hat{AHP}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)$

nên $\hat{AQP}=\hat{ABC}$

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}$

$\hat{MAC}+\hat{AQP}=\hat{MCA}+\hat{MBA}=90^0$

=>AM⊥PQ

Câu trả lời:

a: Xét tứ giác ADME có

AD//ME

AE//MD

Do đó: ADME là hình bình hành

Hình bình hành ADME có $\hat{DAE}=90^0$

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

MD//AC

AB⊥ AC

do đó: MD⊥AB tại D

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

=>AMBI là hình bình hành

Hình bình hành AMBI có AB⊥MI

nên AMBI là hình thoi

c: Xét tứ giác APHQ có $\hat{APH}=\hat{AQH}=\hat{PAQ}=90^0$

nên APHQ là hình chữ nhật

=>$\hat{AQP}=\hat{AHP}$

mà $\hat{AHP}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)$

nên $\hat{AQP}=\hat{ABC}$

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}$

$\hat{MAC}+\hat{AQP}=\hat{MCA}+\hat{MBA}=90^0$

=>AM⊥PQ

꧁༒Áɩ༒꧂ · Answer

Bài 7: Cho $ riangle ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $MD$ song song với $AC$ ($D \in AB$) tại $D$. Kẻ $ME$ song song với $AB$ ($E \in AC$) tại $E$.

c) Vẽ đường cao $AH$ của $ riangle ABC$, kẻ $HP \perp AB$, $HQ \perp AC$. Chứng minh $PQ \perp AM$.

(Trước khi làm câu c, ta nhắc lại kết quả của câu a: Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.)

Lời giải:

1. Phân tích Tứ giác $AEHP$ và $ADHQ$

Vì $AH$ là đường cao, nên $\angle BAC = \angle AHB = \angle AHC = 90^{\circ}$.
Vì $HP \perp AB$ và $HQ \perp AC$, nên $\angle HPA = 90^{\circ}$ và $\angle HQA = 90^{\circ}$.

Xét Tứ giác $AEHP$:

Ta có $\angle EAP = 90^{\circ}$ ($\angle BAC = 90^{\circ}$).
$\angle HPA = 90^{\circ}$.
$\angle A E H = 90^{\circ}$ (Vì $ME // AB$, mà $AC \perp AB$, nên $ME \perp AC$, tức là $AE \perp ME$. Do $E \in AC$ và $M \in BC$, $AE \perp EH$ là không đúng. Ta phải dùng kết quả của câu a: $ADME$ là hình chữ nhật, nên $AE \perp AD$. $AD \equiv AB$. Vậy $AE \perp AB$. $ME//AB$ nên $ME \perp AC$).
$\angle A E H = 90^{\circ}$ là không chính xác. Ta xem lại: $ riangle ABC$ vuông tại $A$. $E \in AC$.
Do $ME // AB$ và $E \in AC$, $M \in BC$, ta có tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (theo câu a), nên $AE \perp AD$.
Ta có $\angle EAP = \angle BAC = 90^{\circ}$.
$\angle HPA = 90^{\circ}$.
$\angle A Q H = 90^{\circ}$. (Đây là $HQ \perp AC$).
- Do $ME // AB$ và $AB \perp AC$, suy ra $ME \perp AC$. Vì $E \in AC$, nên $\angle MEA = 90^{\circ}$.
- Xét tứ giác $APHQ$:
- - Tứ giác $APHQ$ có $\angle PAQ = 90^{\circ}$ ($\angle BAC = 90^{\circ}$).
  - $\angle A P H = 90^{\circ}$ (Vì $HP \perp AB$).
  - $\angle A Q H = 90^{\circ}$ (Vì $HQ \perp AC$).
  - Do đó, tứ giác $APHQ$ là hình chữ nhật.
  - $\implies$ Hai đường chéo $AH$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $PQ$. $\implies O$ là trung điểm của $AH$ và $PQ$.

2. Chứng minh $AM$ vuông góc với $PQ$

Ta đã chứng minh $APHQ$ là hình chữ nhật. $O$ là trung điểm của $AH$ và $PQ$.
$M$ là trung điểm của $BC$. Trong $ riangle ABC$ vuông tại $A$, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$. $$\implies AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC$$
Xét $ riangle A H M$: $O$ là trung điểm của $AH$. $AM$ là cạnh huyền.
Ta cần chứng minh $AM$ vuông góc với $PQ$.
Để chứng minh $PQ \perp AM$, ta cần chứng minh $ riangle A O P$ và $ riangle M O P$ có điều kiện để $P O \perp A M$.
Sử dụng Vectơ hoặc Hệ trục tọa độ (Cách Phổ thông hơn là chứng minh trực tiếp):
Ta chứng minh $ riangle AMH$ cân tại $M$. Không đúng, $ riangle ABH$ vuông tại $H$.
- Ta sử dụng tính chất đường trung bình/đường trung tuyến:
- - $O$ là trung điểm của $AH$.
  - $M$ là trung điểm của $BC$.
  - Trong $ riangle ABC$, $AM$ là trung tuyến.
- Ta có $PQ$ là đường chéo của hình chữ nhật $APHQ$.
- Vì $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ là trung tuyến.
- Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago:
  Ta cần chứng minh $A M^2 + P Q^2 = A Q^2 + P M^2$ (Không hợp lý).
- Sử dụng tính chất đối xứng:
  Xét $ riangle A P Q$: $O$ là trung điểm $P Q$.
  Ta cần chứng minh $ riangle A P M$ cân tại $P$ (Không đúng).
- Quay lại tính chất hình chữ nhật $APHQ$:
  $O$ là trung điểm của $AH$ và $PQ$.
  Trong $ riangle AHB$ vuông tại $H$, $HP \perp AB$ ($P \in AB$).
- - $HP$ là đường cao. $H P^2 = A P \cdot P B$.
    Trong $ riangle A H C$ vuông tại $H$, $H Q \perp A C$ ($Q \in A C$).
  - $H Q^2 = A Q \cdot Q C$.
- Sử dụng trung tuyến trong tam giác vuông:
  Xét $ riangle A P H$ vuông tại $P$. $P O$ là trung tuyến. $P O = \frac{1}{2} A H$.
  Xét $ riangle A Q H$ vuông tại $Q$. $Q O$ là trung tuyến. $Q O = \frac{1}{2} A H$.
  Vì $P O = Q O = \frac{1}{2} A H$, và $O$ là trung điểm $P Q$, nên $P Q$ không phải là trung tuyến.
- Thực hiện phép chứng minh $PQ \perp AM$ bằng cách dùng Tích vô hướng (nếu cho phép) hoặc Chứng minh $\angle M K Q = 90^{\circ}$ (với $K$ là giao điểm của $PQ$ và $AM$).
- Cách đơn giản nhất: Chứng minh $AM$ là đường trung trực của $PQ$ không đúng.
- Sử dụng tính chất Tứ giác $APHQ$ là hình chữ nhật:
  $O$ là giao điểm của $AH$ và $PQ$, $O$ là trung điểm $AH$ và $PQ$.
  Trong $ riangle ABH$ vuông tại $H$, $O$ là trung điểm của $AH$. $PO$ là trung tuyến ứng với cạnh $AH$ của $ riangle APH$ (Không đúng, $P \in AB$).
  Ta có $P Q$ là đường chéo của hình chữ nhật $APHQ$.
  $A P = H Q$ và $A Q = H P$.
  $P Q = A H$.
- Tính chất quan trọng:
  Trong $ riangle ABH$ vuông tại $H$, $P$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.
  Trong $ riangle ACH$ vuông tại $H$, $Q$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$.
  Gọi $K$ là giao điểm của $PQ$ và $AM$. Ta cần chứng minh $\angle AKQ = 90^{\circ}$.
- - $M$ là trung điểm của $BC$.
  - $O$ là trung điểm của $AH$.
- - Vì $APHQ$ là hình chữ nhật, ta có $PQ$ và $AH$ cắt nhau tại $O$ (trung điểm mỗi đường).
  - Ta chứng minh $AM \perp PQ$ bằng cách chứng minh $\angle HAM = \angle AP Q$. (Không đúng)
  - Ta chứng minh $\angle QAH = \angle AM Q$ (Không đúng)
  - Sử dụng góc tạo b...

Câu trả lời:

Bài 7: Cho $ riangle ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $MD$ song song với $AC$ ($D \in AB$) tại $D$. Kẻ $ME$ song song với $AB$ ($E \in AC$) tại $E$.

c) Vẽ đường cao $AH$ của $ riangle ABC$, kẻ $HP \perp AB$, $HQ \perp AC$. Chứng minh $PQ \perp AM$.

(Trước khi làm câu c, ta nhắc lại kết quả của câu a: Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.)

Lời giải:

1. Phân tích Tứ giác $AEHP$ và $ADHQ$

Vì $AH$ là đường cao, nên $\angle BAC = \angle AHB = \angle AHC = 90^{\circ}$.
Vì $HP \perp AB$ và $HQ \perp AC$, nên $\angle HPA = 90^{\circ}$ và $\angle HQA = 90^{\circ}$.

Xét Tứ giác $AEHP$:

Ta có $\angle EAP = 90^{\circ}$ ($\angle BAC = 90^{\circ}$).
$\angle HPA = 90^{\circ}$.
$\angle A E H = 90^{\circ}$ (Vì $ME // AB$, mà $AC \perp AB$, nên $ME \perp AC$, tức là $AE \perp ME$. Do $E \in AC$ và $M \in BC$, $AE \perp EH$ là không đúng. Ta phải dùng kết quả của câu a: $ADME$ là hình chữ nhật, nên $AE \perp AD$. $AD \equiv AB$. Vậy $AE \perp AB$. $ME//AB$ nên $ME \perp AC$).
$\angle A E H = 90^{\circ}$ là không chính xác. Ta xem lại: $ riangle ABC$ vuông tại $A$. $E \in AC$.
Do $ME // AB$ và $E \in AC$, $M \in BC$, ta có tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (theo câu a), nên $AE \perp AD$.
Ta có $\angle EAP = \angle BAC = 90^{\circ}$.
$\angle HPA = 90^{\circ}$.
$\angle A Q H = 90^{\circ}$. (Đây là $HQ \perp AC$).
- Do $ME // AB$ và $AB \perp AC$, suy ra $ME \perp AC$. Vì $E \in AC$, nên $\angle MEA = 90^{\circ}$.
- Xét tứ giác $APHQ$:
- - Tứ giác $APHQ$ có $\angle PAQ = 90^{\circ}$ ($\angle BAC = 90^{\circ}$).
  - $\angle A P H = 90^{\circ}$ (Vì $HP \perp AB$).
  - $\angle A Q H = 90^{\circ}$ (Vì $HQ \perp AC$).
  - Do đó, tứ giác $APHQ$ là hình chữ nhật.
  - $\implies$ Hai đường chéo $AH$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $PQ$. $\implies O$ là trung điểm của $AH$ và $PQ$.

2. Chứng minh $AM$ vuông góc với $PQ$

Ta đã chứng minh $APHQ$ là hình chữ nhật. $O$ là trung điểm của $AH$ và $PQ$.
$M$ là trung điểm của $BC$. Trong $ riangle ABC$ vuông tại $A$, $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$. $$\implies AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC$$
Xét $ riangle A H M$: $O$ là trung điểm của $AH$. $AM$ là cạnh huyền.
Ta cần chứng minh $AM$ vuông góc với $PQ$.
Để chứng minh $PQ \perp AM$, ta cần chứng minh $ riangle A O P$ và $ riangle M O P$ có điều kiện để $P O \perp A M$.
Sử dụng Vectơ hoặc Hệ trục tọa độ (Cách Phổ thông hơn là chứng minh trực tiếp):
Ta chứng minh $ riangle AMH$ cân tại $M$. Không đúng, $ riangle ABH$ vuông tại $H$.
- Ta sử dụng tính chất đường trung bình/đường trung tuyến:
- - $O$ là trung điểm của $AH$.
  - $M$ là trung điểm của $BC$.
  - Trong $ riangle ABC$, $AM$ là trung tuyến.
- Ta có $PQ$ là đường chéo của hình chữ nhật $APHQ$.
- Vì $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ là trung tuyến.
- Áp dụng định lý đảo của định lý Pitago:
  Ta cần chứng minh $A M^2 + P Q^2 = A Q^2 + P M^2$ (Không hợp lý).
- Sử dụng tính chất đối xứng:
  Xét $ riangle A P Q$: $O$ là trung điểm $P Q$.
  Ta cần chứng minh $ riangle A P M$ cân tại $P$ (Không đúng).
- Quay lại tính chất hình chữ nhật $APHQ$:
  $O$ là trung điểm của $AH$ và $PQ$.
  Trong $ riangle AHB$ vuông tại $H$, $HP \perp AB$ ($P \in AB$).
- - $HP$ là đường cao. $H P^2 = A P \cdot P B$.
    Trong $ riangle A H C$ vuông tại $H$, $H Q \perp A C$ ($Q \in A C$).
  - $H Q^2 = A Q \cdot Q C$.
- Sử dụng trung tuyến trong tam giác vuông:
  Xét $ riangle A P H$ vuông tại $P$. $P O$ là trung tuyến. $P O = \frac{1}{2} A H$.
  Xét $ riangle A Q H$ vuông tại $Q$. $Q O$ là trung tuyến. $Q O = \frac{1}{2} A H$.
  Vì $P O = Q O = \frac{1}{2} A H$, và $O$ là trung điểm $P Q$, nên $P Q$ không phải là trung tuyến.
- Thực hiện phép chứng minh $PQ \perp AM$ bằng cách dùng Tích vô hướng (nếu cho phép) hoặc Chứng minh $\angle M K Q = 90^{\circ}$ (với $K$ là giao điểm của $PQ$ và $AM$).
- Cách đơn giản nhất: Chứng minh $AM$ là đường trung trực của $PQ$ không đúng.
- Sử dụng tính chất Tứ giác $APHQ$ là hình chữ nhật:
  $O$ là giao điểm của $AH$ và $PQ$, $O$ là trung điểm $AH$ và $PQ$.
  Trong $ riangle ABH$ vuông tại $H$, $O$ là trung điểm của $AH$. $PO$ là trung tuyến ứng với cạnh $AH$ của $ riangle APH$ (Không đúng, $P \in AB$).
  Ta có $P Q$ là đường chéo của hình chữ nhật $APHQ$.
  $A P = H Q$ và $A Q = H P$.
  $P Q = A H$.
- Tính chất quan trọng:
  Trong $ riangle ABH$ vuông tại $H$, $P$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.
  Trong $ riangle ACH$ vuông tại $H$, $Q$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$.
  Gọi $K$ là giao điểm của $PQ$ và $AM$. Ta cần chứng minh $\angle AKQ = 90^{\circ}$.
- - $M$ là trung điểm của $BC$.
  - $O$ là trung điểm của $AH$.
- - Vì $APHQ$ là hình chữ nhật, ta có $PQ$ và $AH$ cắt nhau tại $O$ (trung điểm mỗi đường).
  - Ta chứng minh $AM \perp PQ$ bằng cách chứng minh $\angle HAM = \angle AP Q$. (Không đúng)
  - Ta chứng minh $\angle QAH = \angle AM Q$ (Không đúng)
  - Sử dụng góc tạo b...

Bài 7: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $MD$ song song với $AC$ ($D \in AB$) tại $D$. Kẻ $ME$ song song với $AB$ ($E \in AC$) tại $E$.

1. Phân tích Tứ giác $AEHP$ và $ADHQ$

2. Chứng minh $AM$ vuông góc với $PQ$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bài 7: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $MD$ song song với $AC$ ($D \in AB$) tại $D$. Kẻ $ME$ song song với $AB$ ($E \in AC$) tại $E$.

1. Phân tích Tứ giác $AEHP$ và $ADHQ$

2. Chứng minh $AM$ vuông góc với $PQ$

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP