Ta có: (u.v)' = u'.v + u.v'

\(Q=80K^{\dfrac{1}{3}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}\)

\(Q'=80.\left(K^{\dfrac{1}{3}}\right)'.\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}+80.K^{\dfrac{1}{3}}.\left(\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}\right)'\)= \(80.\dfrac{1}{3}.K^{-\dfrac{2}{3}}.\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}+80.K^{\dfrac{1}{3}}.\dfrac{1}{2}.\left(100-K\right)^{-\dfrac{1}{2}}.\left(-1\right)\) = \(80.\left(\dfrac{\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}{3K^{\dfrac{2}{3}}}-\dfrac{K^{\dfrac{1}{3}}}{2\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}\right)\)= \(80.\left(\dfrac{2\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}-3K^{\dfrac{2}{3}}K^{\dfrac{1}{3}}}{6K^{\dfrac{2}{3}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}\right)\) = \(80.\left(\dfrac{2\left(100-K\right)-3K}{6K^{\dfrac{2}{3}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}\right)\) = \(80.\left(\dfrac{200-5K}{6K^{\dfrac{2}{3}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}\right)\) = \(\dfrac{400\left(40-K\right)}{6K^{\dfrac{2}{3}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}\) = \(\dfrac{200\left(40-K\right)}{3K^{\dfrac{2}{3}}\left(100-K\right)^{\dfrac{1}{2}}}\).

\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=1\\x=1\Rightarrow y=0\\x=-1\Rightarrow y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(0;1\right);B\left(1;0\right);C\left(-1;0\right)\)

\(S=\dfrac{1}{2}.\left|y_A-y_B\right|.\left|x_B-x_C\right|=\dfrac{1}{2}.1.2=1\)

\(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x-3\right)-\left(-x^2+2x+c\right)}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-x^2+6x-6-c}{\left(x-3\right)^2}\)

\(\Rightarrow\) Cực đại và cực tiểu của hàm là nghiệm của: \(-x^2+6x-6-c=0\) (1)

\(\Delta'=9-\left(6+c\right)>0\Rightarrow c< 3\)

Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_1^2+6x_1-6=c\\-x_2^2+6x_2-6=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m-M=\dfrac{-x_1^2+2x_1+c}{x_1-3}-\dfrac{-x_2^2+2x_2+c}{x_2-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x_1^2+8x_1-6}{x_1-3}-\dfrac{-2x_2^2+8x_2-6}{x_2-3}=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(1-x_1\right)-2\left(1-x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x_2-x_1=2\)

Kết hợp với Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2-x_1=2\\x_1+x_2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c=2\)

Có 1 giá trị nguyên

Câu 40: \(y=x^3-3x\)

=>y'=\(3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Đặt y'=0

=>3(x-1)(x+1)=0

=>(x-1)(x+1)=0

=>x=1 hoặc x=-1

\(y^{\prime}=3x^2-3\)

=>y''=\(3\cdot2x-3=6x-3\)

Khi x=1 thì y''\(=6x-3=6\cdot1-3=3>0\)

=>Hàm số đạt cực tiểu tại x=1

=>\(y_2=1^3-3\cdot1=1-3=-2\)

Khi x=-1 thì y''=\(6\cdot\left(-1\right)-3=-9<0\)

=>Hàm số đạt cực đại tại x=-1

\(y_1=\left(-1\right)^3-3\cdot\left(-1\right)=-1+3=2\)

\(2y_1-y_2=2\cdot2-\left(-2\right)=4+2=6\)

=>Chọn A

Câu 41: \(y=2x^3-x^2+5\)

=>y'=\(2\cdot3x^2-2x=6x^2-2x\) =2x(3x-1)

=>y''=\(6\cdot2x-2=12x-2\)

Đặt y'=0

=>2x(3x-1)=0

=>x=0 hoặc x=1/3

Khi x=0 thì \(y=12x-2=-2<0\)

=>Hàm số đạt cực đại tại x=0

Khi x=0 thì \(y=2\cdot0^3-0^2+5=5\)

=>Điểm cực đại là A(0;5)

=>Chọn C

Câu 42: D

Câu 43: D

Câu 44: C

Câu 45: B

Câu 46: A

Câu 47: C

Câu 48: A

Câu 49: A

Câu 50: B

Câu 51: B

Câu 52: B

Câu 53: D

Bài 1:

a: A(1;1;1); B(-1;1;0); C(3;1;-1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-1;1-1;0-1\right)=\left(-2;0;-1\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-1;1-1;-1-1\right)=\left(2;0;-2\right)\)

Vì \(\frac{-2}{2}<>\frac00<>\frac{-1}{-2}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là độ dài ba cạnh của một tam giác

b: A(1;1;1); B(-1;1;0); C(3;1;-1); D(x;y;z)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;0;-1\right);\overrightarrow{DC}=\left(3-x;1-y;-1-z\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>3-x=-2 và 1-y=0 và -1-z=-1

=>x=5 và y=1 và z+1=1

=>x=5 và y=1 và z=0

=>D(5;1;0)

23.

Ta sẽ tìm điểm \(I\left(a;b;c\right)\) sao cho \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(-2-a;2-b;6-c\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(-3-a;1-b;8-c\right)\\\overrightarrow{IC}=\left(-1-a;-b;7-c\right)\\\overrightarrow{ID}=\left(1-a;2-b;3-c\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\left(-5-4a;5-4b;24-4c\right)\)

(1) thỏa mãn khi: \(\left\{{}\begin{matrix}-5-4a=0\\5-4b=0\\24-4c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{4}\\b=\dfrac{5}{4}\\c=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(-\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4};6\right)\)

Khi đó:

\(T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)^2\)

\(=4MI^2+IA^2+IB^2+IC^2+ID^2+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)\)

\(=4MI^2+IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\) (do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\))

\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\) cố định nên \(T_{min}\) khi \(MI_{min}\)

\(\Leftrightarrow M\) trùng I

\(\Rightarrow M\left(-\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4};6\right)\Rightarrow x+y+z=-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}+6=6\)

24.

\(a+b=4\Rightarrow b=4-a\)

ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow C\left(a;a;0\right)\)

Tương tự ta có: \(C'\left(a;a;b\right)\)

M là trung điểm CC' \(\Rightarrow M\left(a;a;\dfrac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{A'B}=\left(a;0;-b\right)=\left(a;0;a-4\right)\\\overrightarrow{A'D}=\left(0;a;-b\right)=\left(0;a;a-4\right)\\\overrightarrow{A'M}=\left(a;a;-\dfrac{b}{2}\right)=\left(a;a;\dfrac{a-4}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Theo công thức tích có hướng:

\(\left[\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'D}\right]=\left(-a^2+4a;-a^2+4a;a^2\right)\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'D}\right].\overrightarrow{A'M}\right|=\dfrac{1}{6}\left|a\left(-a^2+4a\right)+a\left(-a^2+4a\right)+\dfrac{a^2\left(a-4\right)}{2}\right|\)

\(=\dfrac{1}{4}\left|a^3-4a^2\right|=\dfrac{1}{4}\left(4a^2-a^3\right)\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=\dfrac{1}{4}\left(4a^2-a^3\right)\) trên \(\left(0;4\right)\)

\(f'\left(a\right)=\dfrac{1}{4}\left(8a-3a^2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)_{max}=f\left(\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{64}{27}\)

Câu 7: Theo bảng biến thiên,ta có: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, với giá trị cực đại là y=2

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu là y=-1

=>Chọn B

Câu 8: D vì hàm số có 3 cực trị

Câu 9: Theo bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=0

=>Chọn D

Câu 10: Theo bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=0, với giá trị cực tiểu là y=1

=>Chọn C

Câu 11: C

Câu 12: C

Câu 13: A

Câu 14: B

Câu 15: D

Câu 16: C

Câu 17: A

Câu 18: C

Câu 18+: A

Câu 19: C

Câu 19+: B

Câu 20: D

Câu 21: C

Câu 22: C

Câu 23: A

Câu 24: \(y=\frac{x^3}{3}-x-1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-1=x^2-1\)

=>y''=2x

Đặt y'=0

=>(x-1)(x+1)=0

=>x=1 hoặc x=-1

Khi x=1 thì y''=2*1=2>0

=>Hàm số đạt cực tiểu tại x=1

=>Chọn A

Câu 25: B

Câu 26: \(y=x^4+x^2-4\) là hàm số trùng phương có ab=1*1>0

nên hàm số này chỉ có 1 điểm cực trị

=>Chọn D

Câu 27: \(y=x^3-3x^2+2x+2019\)

=>y'=\(3x^2-3\cdot2x+2=3x^2-6x+2\)

Đặt y'=0

\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot3\cdot2=36-24=12>0\)

=>y'=0 có hai nghiệm phân biệt

=>Hàm số có 2 cực trị

=>Chọn B

Câu 28: C

Câu 29: B
Câu 30: C

Câu 31: B

Câu 32: B

Câu 33: D

Câu 34: A

Câu 35: A

Câu 36: B

Câu 37: D

Câu 38; B

Câu 39: A

a) \(I_1=\int\dfrac{dx}{x^2+2x+3}\)

\(=\int\dfrac{dx}{\left(x+1\right)^2+2}=\int\dfrac{d\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}arctan\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C\)

b) \(I_2=\int\dfrac{dx}{4x^2+4x+2}\)

\(=\int\dfrac{dx}{\left(2x+1\right)^2+1}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^2+1^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}arctan\left(2x+1\right)+C\)