Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow xyz=1\) và \(x;y;z>0\)

Gọi biểu thức cần tìm GTNN là P, ta có:

\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{y^3}\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{z^3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}\)

\(=\dfrac{x^3yz}{y+z}+\dfrac{y^3zx}{z+x}+\dfrac{z^3xy}{x+y}=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(P\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Đặt \(a = \frac{1}{x} ; b = \frac{1}{y} ; c = \frac{1}{z} \Rightarrow x y z = 1\) và \(x ; y ; z > 0\)

Gọi biểu thức cần tìm GTNN là P, ta có:

\(P = \frac{1}{\frac{1}{x^{3}} \left(\right. \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \left.\right)} + \frac{1}{\frac{1}{y^{3}} \left(\right. \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \left.\right)} + \frac{1}{\frac{1}{z^{3}} \left(\right. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \left.\right)}\)

\(= \frac{x^{3} y z}{y + z} + \frac{y^{3} z x}{z + x} + \frac{z^{3} x y}{x + y} = \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}\)

\(P \geq \frac{\left(\left(\right. x + y + z \left.\right)\right)^{2}}{y + z + z + x + x + y} = \frac{x + y + z}{2} \geq \frac{3 \sqrt[3]{x y z}}{2} = \frac{3}{2}\)

\(P_{m i n} = \frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = 1\) hay \(a = b = c = 1\)

\({x^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow x = 2\sqrt 5 \)

\({y^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Leftrightarrow y = 3\)

\({z^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 25 \Rightarrow z = 5\)

\({t^2} = {1^2} + {2^2} = 5 \Rightarrow t = \sqrt 5 \)

Bài 1:

\(M=x^3-6x^2+12x-8\)

\(=x^3-3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2-2^3\)

\(=\left(x-2\right)^3\)

Thay x=12 vào M, ta được:

\(M=\left(12-2\right)^3=10^3=1000\)

Bài 2:

a: \(P=\left(x+1\right)^3-x\left(x-2\right)\left(x+3\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x\left(x^2+3x-2x-6\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x\left(x^2+x-6\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x^3-x^2+6x=2x^2+9x+1\)

b: Thay x=2 vào P, ta được:

\(P=2\cdot2^2+9\cdot2+1=8+18+1=9+18=27\)

Bài 3:

a: \(5x^2-10x=5x\cdot x-5x\cdot2=5x\left(x-2\right)\)

b: \(x^2-12xy+36y^2-49\)

\(=\left(x-6y\right)^2-7^2\)

=(x-6y-7)(x-6y+7)

c: \(3x+x^2-3y-y^2\)

\(=x^2-y^2+3\left(x-y\right)\)

=(x-y)(x+y)+3(x-y)

=(x-y)(x+y+3)

Bài 4:

a: \(x\left(2x-1\right)-3\left(1-2x\right)=0\)

=>x(2x-1)+3(2x-1)=0

=>(2x-1)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}2x-1=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac12\\ x=-3\end{array}\right.\)

b: \(\left(3x+4\right)^2-\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=49\)

=>\(9x^2+24x+16-9x^2+1=49\)

=>24x+17=49

=>24x=49-17=32

=>\(x=\frac{32}{24}=\frac43\)

c: \(x^2+2x=15\)

=>\(x^2+2x-15=0\)

=>(x+5)(x-3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+5=0\\ x-3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-5\\ x=3\end{array}\right.\)

Bài 5:

a: C=A+B

\(=xy-3x^2y^2+x^4-5y^3+x^4-5y^3-2x^2y^2-xy=-5x^2y^2+2x^4-10y^3\)

b: Bậc của C là 4

c: Thay x=-1;y=-1 vào C, ta được:

\(C=-5\cdot\left(-1\right)^2\cdot\left(-1\right)^2+2\cdot\left(-1\right)^4-10\cdot\left(-1\right)^3\)

=-5+2+10

=-3+10

=7

Bài 6:

a: \(A=2x^2-4x+2xy+y^2+2025\)

\(=x^2-4x+4+x^2+2xy+y^2+2021=\left(x-2\right)^2+\left(x+y\right)^2+2021\ge2021\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-2=0 và x+y=0

=>x=2 và y=-x=-2

b: (x-7)(x-5)(x-4)(x-2)-72

\(=\left(x^2-9x+14\right)\left(x^2-9x+20\right)-72\)

\(=\left(x^2-9x+14\right)^2+6\left(x^2-9x+14\right)-72\)

\(=\left(x^2-9x+14+12\right)\left(x^2-9x+14-6\right)=\left(x^2-9x+26\right)\left(x^2-9x+8\right)\)

\(=\left(x^2-9x+26\right)\left(x-1\right)\left(x-8\right)\)

Những tam giác đồng dạng là 

- Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là 1

- Tam giác MPN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{2}\)

- Tam giác MPN đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{2}\)

diện tích tứ giác

S.ABCD=S.ACD=S.ABC

54=17+S.ABC

S.ABC=54-17=37

TAM GIÁC ABC CÂN TẠI A(DO AB=AC)

CD VUÔNG GÓC VỚI BC

=>S.ABD=37 CM

Bài 38:

Xét ΔABD và ΔACB có

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\left(\frac{10}{20}=\frac{5}{10}=\frac12\right)\)

góc BAD chung

Do đó: ΔABD~ΔACB

=>\(\hat{ABD}=\hat{ACB}\)

Bài 36:

Xét ΔABD và ΔBDC có

\(\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}\left(\frac48=\frac{8}{16}=\frac12\right)\)

\(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔABD~ΔBDC

=>\(\hat{BAD}=\hat{DBC}\)

ΔABD~ΔBDC

=>\(\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac48=\frac12\)

=>BC=2AD

35:

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\left(\frac{10}{15}=\frac{8}{12}=\frac23\right)\)

góc MAN chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\frac{MN}{CB}=\frac{AM}{AC}=\frac23\)

=>\(MN=18\cdot\frac23=12\left(\operatorname{cm}\right)\)