BÀi 1:

1: \(x^3-x^2-m^2x+m^2=0\)

=>\(x^2\left(x-1\right)-m^2\left(x-1\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x^2-m^2\right)=0\)

=>x∈{1;m;-m}

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì m∉{0;1;-1}

TH1: Thứ tự lần lượt là 1;m;-m

=>1+(-m)=2m

=>3m=1

=>m=1/3(nhận)

TH2: Thứ tự lần lượt là 1;-m;m

=>m+1=-2m

=>3m=-1

=>m=-1/3(nhận)

TH3: Thứ tự lần lượt là m;1;-m

=>m-m=2*1

=>0=2(sai)

=>Loại

Bài 2:

a: Đặt \(a=x^2\) (Điều kiện: a>=0)

\(-x^4+2mx^2-2m+1=0\) (1)

=>\(x^4-2mx^2+2m-1=0\)

=>\(a^2-2m\cdot a+2m-1=0\) (2)

=>\(a^2-\left(2m-1\right)a-a+2m-1=0\)

=>(a-2m+1)*a-(a-2m+1)=0

=>(a-2m+1)(a-1)=0

=>a=1 hoặc a=2m-1

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm dương phân biệt

=>2m-1<>1 và 2m-1>0

=>2m<>2 và 2m>1

=>m>1/2 và m<>1

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân thì 2m-1=9*1=9 hoặc \(1=9\left(2m-1\right)\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2m=10\\ 18m-9=1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=10\\ 18m=10\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=5\left(nhận\right)\\ m=\frac59\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

b:

Đặt \(a=x^2\left(a\ge0\right)\)

\(x^4+2\left(m-2\right)x^2+m^2-5m+5=0\left(3\right)\)

=>\(a^2+2\left(m-2\right)a+m^2-5m+5=0\) (4)

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m-2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-5m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-4m+4\right)-4\left(m^2-5m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-4m+4-m^2+5m-5\right)=4\left(m-1\right)\)

Theo Vi-et, ta có: \(a_1+a_2=-\frac{b}{a}=-2\left(m-2\right);a_1a_2=\frac{c}{a}=m^2-5m+5\)

Để (3) có 4 nghiệm phân biệt thì (4) có hai nghiệm dương phân biệt

=>\(\begin{cases}\Delta>0\\ a_1+a_2>0\\ a_1a_2>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4\left(m-1\right)>0\\ -2\left(m-2\right)>0\\ m^2-5m+5>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1

Câu 1: Gọi 3 số là a;b;c

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=6\\2b=a+c\\a^2+b^2+c^2=30\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a+c=4\\a^2+c^2=26\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c=4-a\\a^2+\left(4-a\right)^2=26\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c=5\\a=-1\end{matrix}\right.\left(\text{V\text{ì} }a< c\right)\)

Câu 2: Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

\(pt:x^4-10\text{x}^2+9m=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow t^2-10t^2+9m=0\left(2\right)\)

Để pt(1) có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng thì (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(-5\right)^2-9m>0\\S=10>0\left(T/m\right)\\P=9m>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{9}\\\\m>0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow0< m< \dfrac{25}{9}\)

(2) có 2 nghiệm \(t_1< t_2\)

=> (1) có 4 nghiệm \(-\sqrt{t_2}< -\sqrt{t_1}< \sqrt{t_1}< \sqrt{t_2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{t_1}=\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\\ \Rightarrow4t_1=t_2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=10\\4t_1=t_2\\t_1t_2=9m\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1=2\\t_2=8\\m=\dfrac{16}{9}\left(t/m\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt t = x2.

Khi đó ta có phương trình: t² – 10t + 2m² + 7m = 0.

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

+ Với điều kiện trên thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁, t₂(t₁ < t₂).

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là :

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 10 ; t₁.t₂ = 2m² + 7m.

⇒ Ta có hệ phương trình:

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó:

Chọn B.

Đặt t = x², t ≥ 0.

Phương trình trở thành: t² – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0  (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ > 0.

Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: 

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

Theo định lý viet thì : 

Vậy m = 4 hoặc  là những giá trị cần tìm.

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là : \(x_1;x_2;x_3;x_4\)

Đặt \(x^2=y\ge0\), ta có phương trình :

\(\Leftrightarrow y^2-\left(3m+5\right)y+\left(m+1\right)^2=0\left(1\right)\)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt \(0 < y1 < y2\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm là : \(x_1=-\sqrt{y_2};x_2=-\sqrt{y_1};x_3=-\sqrt{y_1};x_4=-\sqrt{y_2}\)

Rõ ràng \(x2 < x2 < x3 < x4\)

Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng, nên :

\(\Rightarrow x_3+x_1=2x_2\) V \(x_4+x_1=2x_3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}=2\sqrt{y_1}\)

\(\Rightarrow3\sqrt{y_1}=\sqrt{y_2}\)

\(\Leftrightarrow9y_1=y_2\) (*)

Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có hệ :

\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+5\right)^2-4\left(m+1\right)^2>0\\S=y_1+y_2=10y_1=3m+5\\P=y_1y_2=9y_1^2=\left(m+1\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=5\\m=-\frac{25}{19}\end{cases}\)

Chọn B

Đặt t = x 2 , t ≥ 0 .

Phương trình trở thành: t 2 − 2 m + 1 t + 2 m + 1 = 0          (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ >  0 .

Δ ' > 0 P > 0 S > 0

⇔ m + 1 2 − 2 m + 1 > 0 2 m + 1 > 0 2 m + 1 > 0 ⇔ − 1 2 < m ≠ 0

Khi đó PT (2) có bốn nghiệm là: − t 2 ; − t 1 ; t 1 ; t 2  

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : 

− t 2 + t 1 = − 2 t 1 − t 1 + t 2 = 2 t 1 ⇔ t 2 = 3 t 1 ⇔ t 2 = 9 t 1

Theo định lý viet thì : t 1 + t 2 = 2 m + 1 t 1 t 2 = 2 m + 1

  ⇒ t 1 + 9 t 1 = 2 m + 1   t 1 9 t 1 = 2 m + 1 ⇔ 10 t 1 = 2 m + 1       ( * ) 9 t 1 2 = 2 m + 1         ( * * ) .

Từ (*) suy ra: 5 t 1 =    m + ​ 1 ⇔ m = 5 t 1 − 1 thay vào (**) ta được:

9 t 1 2 = 2 ( 5 t 1 − 1 ) ​ + 1    ⇔ 9 t 1 2 − 10. t 1 + ​ 1 = 0   ⇔ t 1 =    1 9 ⇒ m =    − 4 9 t 1 =    1 ⇒ m =    4

Vậy m = 4 hoặc m = − 4 9  là những giá trị cần tìm

1.

Do 3 nghiệm lập thành cấp số cộng \(\Rightarrow2x_2=x_1+x_3\)

Mà \(x_1+x_2+x_3=3m\)

\(\Rightarrow3x_2=3m\Rightarrow x_2=m\)

Thay lại pt ban đầu:

\(m^3-3m^3+2m\left(m-4\right)m+9m^2-m=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=0\Rightarrow x^3=0\Rightarrow\) pt có đúng 1 nghiệm (ktm)

- Với \(m=1\Rightarrow x^3-3x^2-6x+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\\x=4\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=1\)