1) \(\sqrt[]{3x+7}-5< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{3x+7}< 5\)

\(\Leftrightarrow3x+7\ge0\cap3x+7< 25\)

\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{7}{3}\cap x< 6\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{7}{3}\le x< 6\)

Đáp án: D

có hai nghiệm là  . Ta thấy không thỏa mãn điều kiện của phương trình  nên  không là nghiệm của phương trình   hay  là nghiệm ngoại lai.

ĐKXĐ: \(2x^2-3x+1<>0;2x^2+x+1<>0\)

=>(2x-1)(x-1)<>0 và \(x^2+\frac12x+\frac12<>0\)

=>x∉{1;1/2} và \(x^2+\frac12x+\frac{1}{16}+\frac{7}{16}<>0\)

=>x∉{1;1/2} và \(\left(x+\frac14\right)^2+\frac{7}{16}<>0\) (luôn đúng)

=>x∉{1;1/2}

Ta có: \(\frac{2x}{2x^2-3x+1}-\frac{x}{2x^2+x+1}=\frac{-3}{2}\)

=>\(\frac{2x\left(2x^2+x+1\right)-x\left(2x^2-3x+1\right)}{\left(2x^2-3x+1\right)\left(2x^2+x+1\right)}=\frac{-3}{2}\)

=>\(\frac{4x^3+2x^2+2x-2x^3+3x^2-x}{\left(2x^2-3x+1\right)\left(2x^2+x+1\right)}=\frac{-3}{2}\)

=>\(\frac{2x^3+5x^2+x}{\left(2x^2-3x+1\right)\left(2x^2+x+1\right)}=\frac{-3}{2}\)

=>\(-3\left\lbrack\left(2x^2+1\right)^2-2x\cdot\left(2x^2+1\right)-3x^2\right\rbrack=2\left(2x^3+x+5x^2\right)\)

=>\(-3\left(2x^2+1\right)^2+6x\left(2x^2+1\right)+9x^2-2x\left(2x^2+1\right)-10x^2=0\)

=>\(-3\left(2x^2+1\right)^2+4x\left(2x^2+1\right)-x^2=0\)

=>\(3\left(2x^2+1\right)^2-4x\left(2x^2+1\right)+x^2=0\) (1)

Đặt \(a=2x^2+1\)

(1) sẽ trở thành: \(3a^2-4xa+x^2=0\)

=>\(3a^2-3a\cdot x-a\cdot x+x^2=0\)

=>3a(a-x)-x(a-x)=0

=>(a-x)(3a-x)=0

TH1: a-x=0

=>\(2x^2-x+1=0\)

=>\(x^2-\frac12x+\frac12=0\)

=>\(\left(x-\frac14\right)^2+\frac{7}{16}=0\) (vô lý)

TH2; 3a-x=0

=>\(6x^2+3-x=0\)

=>\(6x^2-x+3=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot6\cdot3=1-72=-71<0\)

=>x∈∅

5: ĐKXĐ: \(\frac{x+3}{x-7}>0\)

=>x>7 hoặc x<-3

Ta có: \(\left(x-7\right)\cdot\sqrt{\frac{x+3}{x-7}}=x+4\)

=>\(\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-7\right)}=x+4\)

=>\(\begin{cases}x+4\ge0\\ \left(x+3\right)\left(x-7\right)=\left(x+4\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-4\\ x^2-4x-21=x^2+8x+16\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge-4\\ -12x=37\end{cases}\Rightarrow x=-\frac{37}{12}\) (nhận)

6: ĐKXĐ: x>=4

Ta có: \(2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x-16}\)

=>\(2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+2\sqrt{x-4}\)

=>\(\sqrt{2x-3}=\sqrt{x-1}\)

=>2x-3=x-1

=>2x-x=-1+3

=>x=2(loại)

7: ĐKXĐ: x>=1

Ta có: \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{2}\)

=>\(\sqrt{x-1+2\cdot\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1+1}=\frac{x+3}{2}\)

=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\frac{x+3}{2}\)

=>\(\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\frac{x+3}{2}\) (1)

TH1: \(\sqrt{x-1}-1\ge0\)

=>\(\sqrt{x-1}\ge1\)

=>x-1>=1

=>x>=2

(1) sẽ trở thành: \(\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\frac{x+3}{2}\)

=>\(2\sqrt{x-1}=\frac{x+3}{2}\)

=>\(4\sqrt{x-1}=x+3\)

=>\(16\left(x-1\right)=\left(x+3\right)^2\)

=>\(x^2+6x+9=16x-16\)

=>\(x^2-10x+25=0\)

=>\(\left(x-5\right)^2=0\)

=>x-5=0

=>x=5(nhận)

TH2: \(\sqrt{x-1}-1<0\)

=>\(\sqrt{x-1}<1\)

=>0<=x-1<1

=>1<=x<2

(1) sẽ trở thành: \(\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\frac{x+3}{2}\)

=>\(\frac{x+3}{2}=2\)

=>x+3=4

=>x=1(nhận)

Viết lại phương trình dưới dạng :

\(4^{x^2-3x+2}+4^{2x^2+6x+5}=4^{x^2-3x+2}.4^{2x^2+6x+5}+1\)

Đặt \(\begin{cases}u=4^{x^2-3x+2}\\v=4^{2x^2+6x+5}\end{cases}\)\(;u,v>0\)

Khi đó phương trình tương đương với :

\(u+v=uv+1\Leftrightarrow\left(u-1\right)\left(1-v\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}u=1\\v=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}4^{x^2-3x+2}=1\\4^{2x^2+6x+5}=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x^2-3x+2=0\\2x^2+6x+5=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=2\\x=-1\\x=-5\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x-3\ge0\\2x^2-3x+1\ge0\\x^2+2x-3\le2x^2-3x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\x^2-5x+4\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\ge4\\x\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x\le-3\\x\ge4\end{matrix}\right.\)

(2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x2 – 5

⇔ 2x2 + 6x - x – 3 – 3x + 1 ≤ x2 + 3x - x – 3 + x2 – 5

⇔ 2x2 + 2x – 2 ≤ 2x2 + 2x – 8

⇔ 6 ≤ 0 (Vô lý).

Vậy BPT vô nghiệm.