Câu hỏi của Nguyễn Minh Quân

Question

(1/a) + (1/a+b) + (1/a+b+c) = 1; Tìm a,b,c

Nguyễn Trường An · Accepted Answer

Bài làm (với $a,b,c$ nguyên dương):

Vì $a < a+b < a+b+c \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b+c} < \frac{3}{a}$.

$$\Rightarrow 1 < \frac{3}{a} \Rightarrow a < 3 \Rightarrow a \in \{1; 2\}$$

Nếu $a = 1 \Rightarrow \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+b+c} = 0$ (Vô lý).
Nếu $a = 2 \Rightarrow \frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+b+c} = \frac{1}{2}$.

Vì $\frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+b+c} < \frac{2}{2+b} \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{2+b} \Rightarrow b < 2 \Rightarrow b = 1$.

Thay $a=2, b=1 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{3+c} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{3+c} = \frac{1}{6} \Rightarrow c = 3$.

Vậy $(a; b; c) = (2; 1; 3)$.

Câu trả lời:

Bài làm (với $a,b,c$ nguyên dương):

Vì $a < a+b < a+b+c \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b+c} < \frac{3}{a}$.

$$\Rightarrow 1 < \frac{3}{a} \Rightarrow a < 3 \Rightarrow a \in \{1; 2\}$$

Nếu $a = 1 \Rightarrow \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+b+c} = 0$ (Vô lý).
Nếu $a = 2 \Rightarrow \frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+b+c} = \frac{1}{2}$.

Vì $\frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+b+c} < \frac{2}{2+b} \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{2+b} \Rightarrow b < 2 \Rightarrow b = 1$.

Thay $a=2, b=1 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{3+c} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{3+c} = \frac{1}{6} \Rightarrow c = 3$.

Vậy $(a; b; c) = (2; 1; 3)$.

🌙꧁༺Huyết Nguyệt Sát Thần༻꧂🌙 (╬ಠ益ಠ) · Answer

Bài Giải Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt:

$x = a$
$y = a + b$
$z = a + b + c$

Vì $a, b, c$ là các số nguyên dương ($a, b, c \geq 1$), ta có điều kiện:
$1\le xPhương trình ban đầu trở thành:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$Bước 2: Giới hạn giá trị của $x$
Do $x < y < z \implies \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$, ta có:
$1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$
$\implies x<3$Vì $x$ là số nguyên dương nên $x$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ hoặc $2$.

Trường hợp 1: Nếu $x = 1$
$\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\implies \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\quad (\text{Vô\ lý\ vì\ }y,z>0)$
Trường hợp 2: Nếu $x = 2$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\implies \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$

Bước 3: Tìm $y$ và $z$
Do $y < z \implies \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$, ta có:
$\frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{2}{y}$
$\implies y<4$Mà $y > x \implies y > 2$. Vì $y$ là số nguyên nên bắt buộc $y = 3$.Thay $y = 3$ vào phương trình:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\implies \frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\implies z=6$Vậy bộ số thỏa mãn là $(x, y, z) = (2, 3, 6)$.Bước 4: Tìm $a, b, c$
Từ cách đặt ẩn phụ, ta suy ra:

$a = x = 2$
$b = y - a = 3 - 2 = 1$
$c = z - y = 6 - 3 = 3$

Kết luậnCác số nguyên dương cần tìm là: $a = 2, b = 1, c = 3$Câu trả lời: Bài Giải Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt:

$x = a$
$y = a + b$
$z = a + b + c$

Vì $a, b, c$ là các số nguyên dương ($a, b, c \geq 1$), ta có điều kiện:
$1\le xPhương trình ban đầu trở thành:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$Bước 2: Giới hạn giá trị của $x$
Do $x < y < z \implies \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$, ta có:
$1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$
$\implies x<3$Vì $x$ là số nguyên dương nên $x$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ hoặc $2$.

Trường hợp 1: Nếu $x = 1$
$\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\implies \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\quad (\text{Vô\ lý\ vì\ }y,z>0)$
Trường hợp 2: Nếu $x = 2$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\implies \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$

Bước 3: Tìm $y$ và $z$
Do $y < z \implies \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$, ta có:
$\frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{2}{y}$
$\implies y<4$Mà $y > x \implies y > 2$. Vì $y$ là số nguyên nên bắt buộc $y = 3$.Thay $y = 3$ vào phương trình:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\implies \frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\implies z=6$Vậy bộ số thỏa mãn là $(x, y, z) = (2, 3, 6)$.Bước 4: Tìm $a, b, c$
Từ cách đặt ẩn phụ, ta suy ra:

$a = x = 2$
$b = y - a = 3 - 2 = 1$
$c = z - y = 6 - 3 = 3$

Kết luậnCác số nguyên dương cần tìm là: $a = 2, b = 1, c = 3$

Bắc Thành · Answer

Vì a,b,c là các số nguyên dương nên a < a+b < a+b+c

$\Rightarrow\frac{1}{a}>\frac{1}{a+b}>\frac{1}{a+b+c}$

Từ đó, ta có nhận xét:

$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b+c}<\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{3}{a}$

$\Rightarrow1<\frac{3}{a}$

$\Rightarrow a<3\left(1\right)$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{a+b}>0$ và $\frac{1}{a+b+c}>0$

Nên $\frac{1}{a}<1\Rightarrow a>1\left(2\right)$

Từ (1)(2) suy ra a = 2 (TMĐK số nguyên dương)

Thay a = 2 vào pt ban đầu, ta có:

$\frac12+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b+c}=1$

$\Rightarrow\frac{1}{2+b}+\frac{1}{1+b+c}=1-\frac12$

$\Rightarrow\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b+c}=\frac12$

Vì b,c là các số nguyên dương nên 2+b < 2+b+c

$\Rightarrow\frac{1}{2+b}>\frac{1}{2+b+c}$

Do đó, $\frac12=\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b+c}<\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b}=\frac{2}{2+b}$

$\Rightarrow\frac12<\frac{2}{2+b}\Rightarrow2+b<4\Longrightarrow b<2$

Vì b < 2 nên b = 1 (TMĐK số nguyên dương)

Thay a = 2 và b = 1 vào pt, ta có:

$\frac{2}{2+1}+\frac{1}{2+1+c}=\frac12$

$\Leftrightarrow\frac13+\frac{1}{3+c}=\frac12$

$\Leftrightarrow\frac{1}{3+c}=\frac12-\frac13$

$\Rightarrow\frac{1}{3+c}=\frac16$

$\Rightarrow3+c=6$

$\Rightarrow c=3$ (TMĐK số nguyên dương)

Vậy các số nguyên dương (a,b,c) cần tìm là (2;1;3).