Nếu $x+2>2x+1$ thì $2^{x+2}>2^{2x+1},3^{x+2}>3^{2x+1}$ nên VT>VP.

Nếu $x+2<2x+1$ thì $2^{x+2}<2^{2x+1},3^{x+2}<3^{2x+1}$ nên VT<VP.

Vậy x+2=2x+1 hay x=1

Phương trình đã cho tương đương với phương trình 

\(3^{x+2}-3^{x+2}=3^{2x+1}-2^{2x+1}\)

Dễ thấy \(x=1\) là nghiệm của phương trình

Nếu \(x>1\) thì \(x+2<2x+1\)

Do đó

\(3^{x+2}<3^{2x+1};3^{2x+1}>2^{x+2}\)

Hay vế trái <0< Vế phải, phương trình vô nghiệm

Tương tự, nếu x<1 thì phương trình cũng vô nghiệm

Vạy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Lấy Logarit cơ số 3 hai vế, ta có phương trình tương đương :

\(\log_3\left(3^x.2^{x^2}\right)=\log_33^x+\log_32^{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x+x^2\log32=0\)

Do đó phương trình có 2 nghiệm là \(x=0;x=\frac{-1}{\log_33}=-\log_33\)

Biến đổi phương trình về dạng :

\(\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^x+1}{\left(\frac{1}{4}\right)^x+\left(\frac{2}{4}\right)^x+\left(\frac{3}{4}\right)^x}=\frac{3}{2}\)

Nhận thấy \(x=1\) là nghiệm 

Nếu \(x>1\) thì \(\left(\frac{5}{4}\right)^x+1>\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}\) và \(\left(\frac{1}{4}\right)^x+\left(\frac{2}{4}\right)^x+\left(\frac{3}{4}\right)^x<\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}\)

Suy ra vế trái >\(\frac{3}{2}\)= vế phải, phương trình vô nghiệm. Tương tự khi x<1.

Đáp số : x=1

Lấy logarit cơ số 10 hai vế ta có :

\(lg2^{x+2}+lg3^3=lg4^x+lg5^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)lg2+xlg3=xlg4+\left(x-1\right)lg5\)

\(\Leftrightarrow x\left(lg4+lg5-lg3-lg2\right)=2lg2+lg5\)

\(\Leftrightarrow x.lg\frac{4.5}{3.2}=lg\left(2^2.5\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{lg20}{lg\frac{10}{3}}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{lg20}{lg\frac{10}{3}}\)

d) Phương trình đã cho tương đương với :

\(2^{3x}+2^x.3^{2x}=2.3^{2x}\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x-2=0\)

Đặt  \(t=\left(\frac{2}{3}\right)^x,\left(t>0\right)\) Phương trình trở thành 

\(t^3+t-2=0\) hay \(\left(t-1\right)\left(t^2+t+2\right)=0\)

Do \(t^2+t+2=\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\) nên \(t-1=0\) hay t=1

Từ đó suy ra \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=1=\left(\frac{2}{3}\right)^0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=0\)

c) Điều kiện \(x\ne0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(6^{\frac{1}{x}}>0\), ta có :

\(6.\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}-13.1+6\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}},\left(t>0\right)\)

Phương trình trở thành 

\(6t-13+\frac{6}{t}=0\) hay \(6t^2-13t+6=0\)

Phương trình bậc 2 trên có 2 nghiệm dương \(t=\frac{3}{2},t=\frac{2}{3}\)

Với \(t=\frac{3}{2}\) thì \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Với \(t=\frac{2}{3}\) thì \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x=-1\)

a) Chia 2 vế của phương trình cho \(5^x>0\), ta có :

\(\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1\)

Xét \(f\left(x\right)=\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x\)

Ta có :

\(f'\left(x\right)=\left(\frac{3}{5}\right)^x\ln\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^x\ln\frac{4}{5}<0\) với mọi x

Do đó \(f\left(x\right)\) đồng biến trên R

Mặt khác

f(2) =1. Do đó x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

b) Phương trình tương đương với

\(2^x\left(2-2^x\right)=x-1\)

Với x=1 thì phương trình trên đúng, do đó x=1 là nghiệm của phương trình

- Nếu x>1 thì \(2<2^x\) và \(x-1>0\) do đó \(2^x\left(2-2^x\right)<0\)< \(x-1\)

phương trình vô nghiệm

- Nếu x<1 thì \(2>2^x\) và \(x-1<0\) do đó \(2^x\left(2-2^x\right)>0\)> \(x-1\)

phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là x=1