Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\begin{cases} x - 4y + 3\sqrt{y} = \sqrt{2x + y} & (1) \\ \sqrt{8y - 1} + x^2 - 12y + 1 = 0 & (2) \end{cases}\)
ĐKXĐ: y>=1/8; x>=-y/2
Đặt \(a=\sqrt{2x+y}\ge0;b=\sqrt{y}\ge\frac{1}{2\sqrt2}>0\)
=>\(a^2=2x+y\)
=>\(x=\frac{a^2 - b^2}{2}\)
(1): \(x - 4y + 3\sqrt{y} = \sqrt{2x + y}\)
=>\(\frac{a^2 - b^2}{2} - 4b^2 + 3b = a\)
=>\(a^2-b^2-8b^2+6b-2a=0\)
=>\(a^2-2a+1-9b^2+6b-1=0\)
=>\(\left(a-1\right)^2-\left(3b-1\right)^2=0\)
=>(a-1-3b+1)(a-1+3b-1)=0
=>(a-3b)(a+3b-2)=0
TH1: a-3b=0
=>a=3b
=>2x+y=9y
=>2x=8y
=>x=4y
Thay x=4y vào (2), ta được:
\(\sqrt{8y - 1} + (4y)^2 - 12y + 1 = 0\)
=>\(\sqrt{8y - 1}+16y^2-12y+1=0\)
Đặt \(t=\sqrt{8y - 1}\ge0\)
=>\(8y=t^2+1\)
=>\(y=\frac{t^2 + 1}{8}\)
\(\sqrt{8y - 1} + 16y^2 - 12y + 1 = 0\)
=>\(t+16\cdot\left(\frac{t^2 + 1}{8}\right)^2-12\cdot\left(\frac{t^2 + 1}{8}\right)+1=0\)
=>\(t+\frac{(t^2 + 1)^2}{4}-\frac{3(t^2 + 1)}{2}+1=0\)
=>\(4t+(t^4+2t^2+1)-6(t^2+1)+4=0\)
=>\(t^4-4t^2+4t-1=0\)
=>\((t^4-1)-4t(t-1)=0\)
=>\((t-1)(t+1)(t^2+1)-4t(t-1)=0\)
=>\((t-1)\left[(t+1)(t^2+1)-4t\right]=0\)
=>\((t-1)(t^3+t^2-3t+1)=0\)
=>\((t-1)^2(t^2+2t-1)=0\)
TH1: t-1=0
=>t=1
=>8y-1=1
=>8y=2
=>y=1/4(nhận)
=>x=4y=1(nhận)
TH2: \(t^2+2t-1=0\)
=>\(t^2+2t+1=2\)
=>\(\left(t+1\right)^2=2\)
=>\(t+1=\sqrt2\) (Do t>0)
=>\(t=\sqrt2-1\)
=>\(8y-1=3-2\sqrt{2}\)
=>\(8y=4-2\sqrt{2}\)
=>\(y=\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\) (nhận)
=>\(x=4y=2-\sqrt2\) (nhận)
TH2:a+3b-2=0
=>\(\sqrt{2x+y}+3\sqrt{y}=2\) (3)
y>=1/8
=>\(3\sqrt{y}\ge3\cdot\sqrt{\frac18}=\frac{3}{2\sqrt2}\) ≃1,0606
(2)=>\(x^2 = 12y - 1 - \sqrt{8y - 1}\)
Với y>=1/8, ta xét hàm số \(f\left(y\right)=12y-1-\sqrt{8y - 1}\)
=>f(y)>=0
Khi kết hợp cùng (3), ta sẽ thấy các nghiệm giống hệt với TH1
Vậy: \((x; y) \in \left\{ \left(1; \frac{1}{4}\right), \left(2 - \sqrt{2}; \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\right) \right\}\)
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) thì pt đầu trở thành:
\(\dfrac{a^2-b^2}{2}-4b^2+3b=a\Leftrightarrow a^2-9b^2+6b=2a\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b\right)-2\left(a-3b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\a=2-3b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
Xin lỗi ạ. Tại không giỏi đánh máy. Vậy bỏ câu này đi ạ. Chị giải câu kia giúp e nhé
\(\begin{cases}xy\left(x+1\right)=x^3+y^2+x-y\left(1\right)\\3y\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4y+2\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện xác định : mọi \(x\in Z\)
Ta có : \(xy\left(x+1\right)=x^3+y^2+x-y\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^2-xy+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y-1\right)=0\Leftrightarrow\begin{cases}y=x\\y=x^2+1\end{cases}\)
Với \(y=x^2+1\) thay vào phương trình (2) ta được :
\(3\left(x^2+1\right)\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4x^2+6\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\)
Giải ra ta có phương trình vô nghiệm
Với y=x, thay vào phương trình thứ 2, ta được :
\(3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4x+2\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)=-\left(2x+1\right)\left(\sqrt{3+\left(2x+1\right)^2}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)=\left(-2x-1\right)\left(\sqrt{3+\left(-2x-1\right)^2}+2\right)\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t\left(\sqrt{t^2+2}+2\right)\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\sqrt{t^2+2}+2+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+2}}>0\) suy ra hàm số đồng biến
Từ đó suy ra \(3x=-2x\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(-\frac{1}{5};-\frac{1}{5}\right)\)