\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

Học vi-et phương trình bậc 3 chưa bạn. Nếu học rồi thì áp dụng vô là tìm được nghiệm nhé

mk chưa học đến cái đó

đề đây à \(\int^{x^2+y^2+xy=37}_{\int^{x^2+z^2+xz=38}_{y^2+z^2+yz=19}}\)
 

Giúp tớ đi

@Akai Haruma

@Hắc Hường

solution:

ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)

tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x²+y²+z²=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)

\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

cho mình hỏi vs ạ..

Khi mình nhập câu hỏi ý,, làm sao để gửi câu hỏi cho m.n xem để giải đk hả bạn,..Chỉ giùm mik vs ạ.

Không hề có ý spam nha ! Mik ban đầu ko lm dc bài này đăng lên OLM nhờ giúp nhưng giờ lm dc rồi vs lại có 1 bạn nhờ mik nên mik làm ra nha :(

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}=3\)

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow\left(z+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{y^2}{4}=-1\Leftrightarrow3\left(z+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{3y^2}{4}=-3\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+3\left(z+\frac{y}{2}\right)^2=0\)

Dễ dàng suy ra \(2x=y;2z=-y\)

Thay vào \(pt\left(1\right)\) ta được:

\(x^2-x\cdot2x+4x^2=3\Rightarrow3x^2=3\Rightarrow x=1;x=-1\Rightarrow y=2;y=-2\Rightarrow z=-1;z=1\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn là \(\left(1;2;-1\right);\left(-1;-2;1\right)\)

Cộng 3 vế của hệ pt lại được: \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=9\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=9\Rightarrow\) x+y+z=3 hay x+y+z=-3

ở pt đầu => x(x+y+z)=2=> x= \(\frac{2}{x+y+z}\)mà x+y+z có 2 TH => x = \(\frac{2}{3}\)  hay x=\(\frac{-2}{3}\)

Tương tự với 2 pt còn lại, ta có 2 nghiệm :S= { \(\left(\frac{2}{3};1;\frac{4}{3}\right);\left(\frac{-2}{3};-1;\frac{-4}{3}\right)\)}

( Do vế phải của 3 pt đều dương và có \(x^2,y^2,z^2\)  đều dương => xy , yz và xz cũng dương => x, y, z phải cùng dấu )

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức : x²/a + y²/b ≥ (x+y)²/(a+b) 
Ta có : 
3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) = 6/(2xy+2yz+2zx) + 2/(x²+y²+z²) 
≥ (√6+√2)²/(x+y+z)² = (√6+√2)² > 14 (đpcm).