Ta có:

$p^2=5q^2+4$ chia 5 dư 4 suy ra $p=5k+2(k\in \mathbb{N}^*)$

Ta có:

$(5k+2)^2=5q^2+4\Leftrightarrow 5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2\vdots k$

Mặt khác q là số nguyên tố và $q>k$ nên $k=1$. Thay vào ta được $p=7,q=3$

Bài 2:

\( \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{{{y^2}}}{x} = 18\\ x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x \end{array} \right.\left( {x \ne 0,y \ne 0} \right)\\ \dfrac{{{x^2}}}{{12 - x}} + \dfrac{{{{\left( {12 - x} \right)}^2}}}{x} = 18\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \)

Với \(x=4\) \(\Rightarrow y=12-4=8\)

Với \(x=8\) \(\Rightarrow y=12-8=4\)

Vậy nghiệm hệ phương trình \(\left(4;8\right),\left(8;4\right)\)

pt thứ (1) <=> x² + y² = 1 - xy

pt thứ (2) <=> (x+y)(x² + y² - xy) = x+ 3y

Thế pt (1) vào Pt (2) ta được

(x+y).(1 - 2xy) = x + 3y

<=> x - 2x2y + y - 2xy² = x + 3y

<=> -2xy. (x+y) - 2y = 0

<=> y. (1 + x(x+y)) = 0

<=> y = 0 hoặc x.(x+y) = - 1

+) y = 0 => x² = 1 => x = 1 hoặc x = -1

Từ pt thứ 2 => x³= x => x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Vậy x = 1; hoặc x = -1 và y = 0

+) x.(x+y) = - 1 => x² + xy = -1.

Từ pt thứ 1 => y² - 1 = 1 <=> y² = 2 => y = \(\sqrt{2}\) hoặc y = - \(\sqrt{2}\) Thay y = \(\sqrt{2}\) vào x(x+y) = -1 => x=.....

Lời giải:

Lấy phương trình (1) nhân với $11$ rồi trừ đi phương trình (2) ta có:

\(11(x^2-y^2)-(x^2+y^2)=(11-11xy)-(3xy+11)\)

\(\Leftrightarrow 10x^2-12y^2=-14xy\)

\(\Leftrightarrow 5x^2-6y^2+7xy=0\)

\(\Leftrightarrow (5x-3y)(x+2y)=0\)

TH1 : \(5x-3y=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}y\)

Thay vào PT(1): \(\Rightarrow \frac{-16}{25}y^2=1-\frac{3}{5}y^2\Leftrightarrow \frac{-1}{25}y^2=1\) (vô lý)

TH2: \(x+2y=0\Leftrightarrow x=-2y\)

\(\Leftrightarrow 3y^2=1+2y^2\Leftrightarrow y^2=1\)

\(\Leftrightarrow y=\pm 1\Rightarrow x=\mp 2\) (thử lại thấy đúng)

Vậy \((x,y)=(2; -1); (-2; 1)\)