Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) thì pt đầu trở thành:
\(\dfrac{a^2-b^2}{2}-4b^2+3b=a\Leftrightarrow a^2-9b^2+6b=2a\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b\right)-2\left(a-3b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\a=2-3b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
1,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\\\sqrt{2x}+\sqrt{y+1}=2\left(\circledast\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
Th1:\(x=2y\) Thay vào \(\left(\circledast\right)\) , ta có :
\(\sqrt{4y}+\sqrt{y+1}=2\)
\(\Leftrightarrow2-2\sqrt{y}=\sqrt{y+1}\)\(\Leftrightarrow3y-8\sqrt{y}+3=0\)
Giải pt thu được (x;y)
Th2:x=-y thay vào \(\left(\circledast\right)\), ta có
\(\sqrt{-2x}+\sqrt{y+1}=2\)
Xét đk ta thấy:\(y\le0;y\ge-1\)(vô nghiệm)
Vậy ....
2,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\x=-y^2\end{matrix}\right.\)
Th1:\(x=y+1\)
Thay vào ta có:\(\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=1\)\(\Leftrightarrow y=0\)
Th2:\(x=-y^2\)thay vào ta có:
\(\sqrt{-y^2}+\sqrt{y+1}=2\)
vì \(-y^2\le0\) mà nhận thấy y=0 ko là nghiệm của pt
\(\Rightarrow\)Pt vô nghiệm
1: ĐKXĐ: x>=-1
\(\begin{cases}\sqrt{x+1}=\sqrt{2}(8y^2+8y+1)\left(1\right)\\ 4(x^3-8y^3)-6(x^2+4y^2)+3(x+2y)-1=0\left(2\right)\end{cases}\)
(2): \(4(x^3-8y^3)-6(x^2+4y^2)+3(x+2y)-1=0\)
=>\(8x^3 - 64y^3 - 12x^2 - 48y^2 + 6x + 12y - 2 = 0\)
=>\((8x^3-12x^2+6x-1)-(64y^3+48y^2+12y+1)=0\)
=>\((2x-1)^3-(4y+1)^3=0\)
=>\(\left(2x-1\right)^3=\left(4y+1\right)^3\)
=>2x-1=4y+1
=>2x-4y=2
=>x-2y=1
=>x=2y+1
(1) sẽ tương đương: \(\sqrt{2y + 1 + 1} = \sqrt{2}(8y^2 + 8y + 1)\)
=>\(\sqrt{2(y + 1)}=\sqrt{2}(8y^2+8y+1)\)
=>\(\sqrt{y + 1}=8y^2+8y+1\)
Đặt \(t = 8y^2 + 8y + 1 \ge 0\)
Ta có: \(\sqrt{y + 1}=8y^2+8y+1\)
=>\(\sqrt{y+1}=t\)
=>\(y+1=t^2\)
Phương trình sẽ trở thành:
\(8(t^2-1)^2+8(t^2-1)+1=t\)
=>\(8t^4-8t^2-t+1=0\)
=>\((t-1)(8t^3+8t^2-1)=0\)
=>t-1=0
=>t=1
=>8y(y+1)=0
=>y=0 hoặc y=-1
Khi y=0 thì x=1(nhận)
Khi y=-1 thì x=-1(loại)
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
b)\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\right)^2=\left(3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)}=x^2+7xy+y^2\)
\(\Rightarrow\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)=\left(x^2+7xy+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}\)
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-\sqrt{xy}=0\\\sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-\sqrt{y}\\\sqrt{x}=\sqrt{2y}\end{matrix}\right.\)
cái đầu tiên loại vì x=y=0 không phải là nghiệm của hệ
suy ra x=2y thày vào pt(2) ta thấy 0 = 1 vô lý
vậy pt vô nghiệm
\(\begin{cases} x - 4y + 3\sqrt{y} = \sqrt{2x + y} & (1) \\ \sqrt{8y - 1} + x^2 - 12y + 1 = 0 & (2) \end{cases}\)
ĐKXĐ: y>=1/8; x>=-y/2
Đặt \(a=\sqrt{2x+y}\ge0;b=\sqrt{y}\ge\frac{1}{2\sqrt2}>0\)
=>\(a^2=2x+y\)
=>\(x=\frac{a^2 - b^2}{2}\)
(1): \(x - 4y + 3\sqrt{y} = \sqrt{2x + y}\)
=>\(\frac{a^2 - b^2}{2} - 4b^2 + 3b = a\)
=>\(a^2-b^2-8b^2+6b-2a=0\)
=>\(a^2-2a+1-9b^2+6b-1=0\)
=>\(\left(a-1\right)^2-\left(3b-1\right)^2=0\)
=>(a-1-3b+1)(a-1+3b-1)=0
=>(a-3b)(a+3b-2)=0
TH1: a-3b=0
=>a=3b
=>2x+y=9y
=>2x=8y
=>x=4y
Thay x=4y vào (2), ta được:
\(\sqrt{8y - 1} + (4y)^2 - 12y + 1 = 0\)
=>\(\sqrt{8y - 1}+16y^2-12y+1=0\)
Đặt \(t=\sqrt{8y - 1}\ge0\)
=>\(8y=t^2+1\)
=>\(y=\frac{t^2 + 1}{8}\)
\(\sqrt{8y - 1} + 16y^2 - 12y + 1 = 0\)
=>\(t+16\cdot\left(\frac{t^2 + 1}{8}\right)^2-12\cdot\left(\frac{t^2 + 1}{8}\right)+1=0\)
=>\(t+\frac{(t^2 + 1)^2}{4}-\frac{3(t^2 + 1)}{2}+1=0\)
=>\(4t+(t^4+2t^2+1)-6(t^2+1)+4=0\)
=>\(t^4-4t^2+4t-1=0\)
=>\((t^4-1)-4t(t-1)=0\)
=>\((t-1)(t+1)(t^2+1)-4t(t-1)=0\)
=>\((t-1)\left[(t+1)(t^2+1)-4t\right]=0\)
=>\((t-1)(t^3+t^2-3t+1)=0\)
=>\((t-1)^2(t^2+2t-1)=0\)
TH1: t-1=0
=>t=1
=>8y-1=1
=>8y=2
=>y=1/4(nhận)
=>x=4y=1(nhận)
TH2: \(t^2+2t-1=0\)
=>\(t^2+2t+1=2\)
=>\(\left(t+1\right)^2=2\)
=>\(t+1=\sqrt2\) (Do t>0)
=>\(t=\sqrt2-1\)
=>\(8y-1=3-2\sqrt{2}\)
=>\(8y=4-2\sqrt{2}\)
=>\(y=\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\) (nhận)
=>\(x=4y=2-\sqrt2\) (nhận)
TH2:a+3b-2=0
=>\(\sqrt{2x+y}+3\sqrt{y}=2\) (3)
y>=1/8
=>\(3\sqrt{y}\ge3\cdot\sqrt{\frac18}=\frac{3}{2\sqrt2}\) ≃1,0606
(2)=>\(x^2 = 12y - 1 - \sqrt{8y - 1}\)
Với y>=1/8, ta xét hàm số \(f\left(y\right)=12y-1-\sqrt{8y - 1}\)
=>f(y)>=0
Khi kết hợp cùng (3), ta sẽ thấy các nghiệm giống hệt với TH1
Vậy: \((x; y) \in \left\{ \left(1; \frac{1}{4}\right), \left(2 - \sqrt{2}; \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\right) \right\}\)