Bài 1:

Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)

Khi đó hệ PT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)

Có: \(a^4+b^4=81\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)

\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)

Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$

$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$

Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$

Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại

Vậy......

Bài 2:

ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$

$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$

Nếu $(a,b)=(2,1)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)

$y=1\rightarrow x=3$

$y=-1\rightarrow y=5$

Nếu $(a,b)=(1,2)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)

\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)

Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$

Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$

Vậy...........

Akai Haruma

\(\begin{cases}y^2-x\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}=2x-2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\left(2\right)\end{cases}\)

Điều kiện \(x>0\)

Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x\) ta được :

\(\frac{y^2+2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=-1}\\\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{y^2+2}{x}=4\)

                             \(\Leftrightarrow y^2=4x+2\)

Thế vào phương trình (2) ta được : \(\sqrt{4x-1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\)

Đặt \(\sqrt{4x-1}=u,\left(u\ge0\right),\sqrt[3]{2x-1}=v\) ta có hệ : \(\begin{cases}u+v=1\\u^2-2v^3=1\end{cases}\)

Giải hệ ta được \(u=1;v=0\Rightarrow x=\frac{1}{2};y=0\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \(x=\frac{1}{2};y=0\)

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-1=a\\\frac{y}{x}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{a}+2b=1\\a-\frac{2}{b}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{a}+2b=1\\a=\frac{3b+2}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{3b}{3b+2}+2b-1=0\Leftrightarrow3b+\left(2b-1\right)\left(3b+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow6b^2+4b-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-1\\b=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\x=3y\end{matrix}\right.\)

Với \(x=-y\) thay vào pt dưới: \(y^2+y^2+2=4\Rightarrow\)

Với \(x=3y\) thay vào pt dưới: \(9y^2+y^2-6=4\Rightarrow...\)

ĐKXĐ: \(x;y\ne\pm1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-xy^2=2y\\y-x^2y=2x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y+xy\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(1-xy+2\right)=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\y=\frac{3}{x}\end{matrix}\right.\) (

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-x^3=2x\\x-x\left(\frac{3}{x}\right)^2=\frac{6}{x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\left(x^2+1\right)=0\\x^2=15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)