Áp dụng Py-ta-go ta có

AH^2=AB^2-BH^2=>AH=5căn3

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

AH^2=BH*HC=>HC=AH^2/BH=15

=>tanB=5căn3/5=căn3

tanC=5căn3/15

=>3tanC=5căn3/15*3=căn3

nên tanB=3tanC

A B C O M E F P Q' R S T H G Q

Qua P dựng đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt EF tại Q'. Ta sẽ chỉ ra Q trùng Q'.

Thật vậy: Ta có ^BFC = ^BEC = 90⁰ => Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn (BC)

=> ^AFE = ^ACB = ^BAP (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây) => EF // AP (2 góc so le trong bằng nhau)

Gọi H là trực tâm \(\Delta\)ABC, EF cắt BC tại R, AR cắt lại (O) ở S, kẻ đường kính AT của đường tròn (O)

Khi đó dễ thấy tứ giác BHCT là hình bình hành. Do M là trung điểm BC nên H,M,T thẳng hàng

Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn có: RF.RE = RB.RC = RS.RA => A,S,E,F cùng thuộc 1 đường tròn

Mà dễ có A,E,H,F cùng nằm trên đường tròn (AH) nên A,S,F,H,E cùng nằm trên (AH)

=> ^ASH = 90⁰ => SH vuông góc AS. Lại có ST vuông góc AS nên S,H,T thẳng hàng

Kết hợp H,T,M thẳng hàng suy ra S,H,M thẳng hàng. Từ đây MH vuông góc AR tại S

Cũng có AH vuông góc RM nên H là trực tâm \(\Delta\)RAM => RH vuông góc AM

Mà PQ' cũng vuông góc AM nên RH // PQ'. Nếu ta gọi BE giao PQ' tại G thì RH // PG

Áp dụng ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{BH}{HG}=\frac{BR}{RP}\)(Vì PH // PG) \(=\frac{BF}{FA}\)(Vì EF // AP)

Do đó AG // FH (ĐL Thales đảo) hay CH // AG => \(\frac{EC}{EA}=\frac{EH}{EG}\)(Hệ quả ĐL Thales)

Chú ý RH // PQ' hay RH // GQ' suy ra \(\frac{EH}{EG}=\frac{ER}{EQ'}\).Từ đó \(\frac{EC}{EA}=\frac{ER}{EQ'}\)=> AQ' // CR (ĐL Thales đảo)

Khi đó, đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại Q'. Do vậy Q' trùng Q

Điều này tức là PQ vuông góc AM (đpcm).

Bài giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên:

\(\widehat{BAC}=90^\circ\).

Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC.

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\).

Do BN vuông góc AM nên tam giác ABM vuông tại M.

Ta có:

\(AB^2=AM^2+BM^2\)

\(x^2=2AM^2\)

Suy ra \(AM=\dfrac{x\sqrt2}{2}\).

Do đó:

\(BC=2AM=x\sqrt2\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC:

\(AC^2=BC^2-AB^2\)

\(AC^2=2x^2-x^2=x^2\).

Suy ra \(AC=x\).

Vậy \(AC=x,\ BC=x\sqrt2\).

Bài giải

Vì tam giác ABC vuông tại A, BD là đường phân giác và AM vuông góc BD.

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\).

Xét tam giác ABM và DBM:

- \(AM=BM\)

- \(\widehat{AMB}=90^\circ\)

- \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\).

Vì AM vuông góc BD nên đường BD vừa là phân giác vừa vuông góc với AM. Suy ra tam giác ABC cân tại B.

Do đó \(AB=BC\).

Mà tam giác ABC vuông tại A nên:

\(AB^2+AC^2=BC^2\).

Thay \(AB=BC\) vào, ta được:

\(AC^2=0\), vô lý với tam giác ABC không suy biến.

bằng 20 cm vuông