\(A=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{4-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{4-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{5-\sqrt{5}}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)+2\left(3-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}\)

\(=\dfrac{40}{20}=2\)

a. Câu này đơn giản em tự giải

b.

Xét hai tam giác OIM và OHN có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OIM}=\widehat{OHN}=90^0\\\widehat{MON}\text{ chung}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OIM\sim\Delta OHN\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{ON}\Rightarrow OI.ON=OH.OM\)

Cũng từ 2 tam giác đồng dạng ta suy ra \(\widehat{OMI}=\widehat{ONH}\)

Tứ giác OAMI nội tiếp (I và A cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{OMI}\)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{ONH}\) hay \(\widehat{OAI}=\widehat{ONA}\)

c.

Xét hai tam giác OAI và ONA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAI}=\widehat{ONA}\left(cmt\right)\\\widehat{AON}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAI\sim\Delta ONA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{ON}=\dfrac{OI}{OA}\Rightarrow OI.ON=OA^2=OC^2\) (do \(OA=OC=R\))

\(\Rightarrow\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OI}{OC}\)

Xét hai tam giác OCN và OIC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OI}{OC}\\\widehat{CON}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OCN\sim\Delta OIC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCN}=\widehat{OIC}=90^0\) hay tam giác ACN vuông tại C

\(\widehat{ABC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow BC\perp AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACN với đường cao BC:

\(BC^2=BN.BA=BN.2BH=2BN.BH\) (1)

O là trung điểm AC, H là trung điểm AB \(\Rightarrow OH\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét hai tam giác OHN và EBC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OHN}=\widehat{EBC}=90^0\\\widehat{ONH}=\widehat{ECB}\left(\text{cùng phụ }\widehat{IEB}\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta OHN\sim\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OH}{EB}=\dfrac{HN}{BC}\Rightarrow HN.EB=OH.BC=\dfrac{1}{2}BC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=2HN.EB\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BN.BH=HN.BE\)

\(\Rightarrow BN.BH=\left(BN+BH\right).BE\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BE}=\dfrac{BN+BH}{BN.BH}=\dfrac{1}{BH}+\dfrac{1}{BN}\) (đpcm)

Bài 4:

a: ΔCAB vuông tại C

=>\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\)

=>\(\hat{CBA}=90^0-70^0=20^0\)

Xét ΔCBA vuông tại C có \(\sin CBA=\frac{CA}{AB}\)

=>\(CA=AB\cdot\sin CBA=10\cdot\sin20\) ≃3,4(dm)

ΔCAB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(CB^2=AB^2-CA^2\)

=>\(CB=\sqrt{AB^2-AC^2}\) ≃9,4(dm)

b: Xét ΔABC vuông tại C có \(cosA=\frac{CA}{AB}\)

Xét ΔCHA vuông tại H có \(cosA=\frac{AH}{AC}\)

Xét ΔCHB vuông tại H có \(\sin B=\frac{CH}{CB}\)

Xét ΔCAB vuông tại C có \(\sin B=\frac{AC}{AB}\)

\(\sin B\cdot cosA=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}\)

Bài 5:

Xét ΔMAB có \(\hat{MBH}\) là góc ngoài tại đỉnh B

nên \(\hat{MBH}=\hat{A}+\hat{BMA}\)

=>\(\hat{BMA}=39^0-18^0=21^0\)

Xét ΔMAB có \(\frac{AB}{\sin AMB}=\frac{MB}{\sin A}\)

=>\(\frac{MB}{\sin18}=\frac{80}{\sin21}\)

=>\(MB=80\cdot\frac{\sin18}{\sin21}\) ≃69(m)

Xét ΔMHB vuông tại H có \(\sin HBM=\frac{HM}{MB}\)

=>\(HM=MB\cdot\sin HBM\) ≃69*sin39≃43,4(m)

=>Chiều cao của ngọn hải đăng là khoảng 43,4 mét

em cảm ơn a nhiều ạ

4c.

Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 

\(\Rightarrow\widehat{OMN}=\widehat{OMB}\)

Mà \(MB||NO\) (cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow\widehat{OMB}=\widehat{MON}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OMN}=\widehat{MON}\)

\(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại N

\(\Rightarrow MN=ON\)

Cũng theo 2 t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow MA=MB\)

Do MD là tiếp tuyến của (O) tại A \(\Rightarrow OA\perp MD\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OND với đường cao OA:

\(ON^2=NA.ND\Rightarrow MN^2=NA.ND\)

\(\Rightarrow MN^2=\left(MA-MN\right).ND=\left(MB-MN\right).ND\)

\(\Rightarrow MN^2=MB.ND-MN.ND\)

\(\Rightarrow MB.ND-MN^2=MN.ND\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB.ND-MN^2}{MN.ND}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MN}-\dfrac{MN}{ND}=1\) (đpcm)

Bài 2:

Gọi vận tốc lúc đi là \(v\) (km/h), vận tốc lúc về là \(1,2 v\).
Quãng đường mỗi lượt là 120 km.

– Thời gian đi: \(\frac{120}{v}\)
– Thời gian về: \(\frac{120}{1,2 v} = \frac{100}{v}\)

Tổng thời gian đi và về bằng 4,4 giờ nên:

\(\frac{120}{v}+\frac{100}{v}=4,4\Rightarrow\frac{220}{v}=4,4\Rightarrow v=\frac{220}{4,4}=50(\text{km}/\text{h})\)

=> Vậy vận tốc lúc đi là 50 km/h, vận tốc lúc về là 60 km/h.

Bài 1b:

\(\frac{2}{3 x - 1} + \frac{1}{x} = \frac{4}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} (Đ\text{KX}Đ:\&\text{nbsp}; x \neq 0 , \textrm{ }\textrm{ } 3 x \neq 1 )\)

Quy đồng:

\(\frac{2 x + \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} = \frac{4}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} \Rightarrow \frac{5 x - 1}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} = \frac{4}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} \Rightarrow 5 x - 1 = 4 \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1\)

Kiểm tra ĐKXĐ: \(x = 1\) thỏa mãn.

=> Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).

tukgkdu

tungtungtungsahur

Coi số 4 và số 5 là một số, ta sẽ lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà trong đó có 1 số gồm 2 chữ số là 4 và 5.

Số cách chọn 3 chữ số khác nhau còn lại là: \(C_7^3=35\) (cách)

Số cách xếp 4 số vào 4 vị trí là 4!=24(cách)

Số cách xếp hai chữ số 4 và 5 là 2(cách)

Tổng số cách là: \(35\cdot24\cdot2=1680\) (cách)

Bài 3:

a: \(\left(2x+1\right)\left(x^2+2\right)=0\)

mà \(x^2+2\ge2>0\forall x\)

nên 2x+1=0

=>2x=-1

=>\(x=-\frac12\)

b: \(\left(x^2+4\right)\left(7x-3\right)=0\)

mà \(x^2+4\ge4>0\forall x\)

nên 7x-3=0

=>7x=3

=>\(x=\frac37\)

c: \(\left(x^2+x+1\right)\left(6-2x\right)=0\)

mà \(x^2+x+1=x^2+x+\frac14+\frac34=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0\forall x\)

nên 6-2x=0

=>2x=6

=>x=3

d: \(\left(8x-4\right)\left(x^2+2x+2\right)=0\)

mà \(x^2+2x+2=x^2+2x+1+1=\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

nên 8x-4=0

=>8x=4

=>\(x=\frac48=\frac12\)

Bài 4:

a: \(\left(x-2\right)\left(3x+5\right)=\left(2x-4\right)\left(x+1\right)\)

=>(x-2)(3x+5)=(x-2)(2x+2)

=>(x-2)(3x+5-2x-2)=0

=>(x-2)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}\right.\)

b: \(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(x-5\right)\left(4-x\right)\)

=>(2x+5)(x-4)-(x-5)(4-x)=0

=>(2x+5)(x-4)+(x-5)(x-4)=0

=>(x-4)(2x+5+x-5)=0

=>3x(x-4)=0

=>x(x-4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ x-4=0\end{array}\right.=>\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.\)

c: \(9x^2-1=\left(3x+1\right)\left(2x-3\right)\)

=>(3x+1)(3x-1)=(3x+1)(2x-3)

=>(3x+1)(3x-1)-(3x+1)(2x-3)=0

=>(3x+1)(3x-1-2x+3)=0

=>(3x+1)(x+2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+1=0\\ x+2=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac13\\ x=-2\end{array}\right.\)

d: \(2\left(9x^2+6x+1\right)=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(2\left(3x+1\right)^2=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(\left(3x+1\right)\left(6x+2-x+2\right)=0\)

=>(3x+1)(5x+4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+1=0\\ 5x+4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac13\\ x=-\frac45\end{array}\right.\)

e: \(27x^2\left(x+3\right)-12\left(x^2+3x\right)=0\)

=>\(27x^2\left(x+3\right)-12x\left(x+3\right)=0\)

=>3x(x+3)(9x-4)=0

=>x(x+3)(9x-4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ x+3=0\\ 9x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\\ x=\frac49\end{array}\right.\)

f: \(16x^2-8x+1=4\left(x+3\right)\left(4x-1\right)\)

=>\(\left(4x-1\right)^2=\left(4x+12\right)\left(4x-1\right)\)

=>(4x+12)(4x-1)-\(\left(4x-1\right)^2=0\)

=>(4x-1)(4x+12-4x+1)=0

=>13(4x-1)=0

=>4x-1=0

=>4x=1

=>\(x=\frac14\)

Bài 1:

a: \(A=\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt5+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt5-1\right)^2}\)

\(=\sqrt5+1-\left(\sqrt5-1\right)=\sqrt5+1-\sqrt5+1=2\)

b: \(B=a+1-\sqrt{a^2-2a+1}\)

\(=a+1-\sqrt{\left(a-1\right)^2}\)

=a+1-|a-1|

=a+1-(1-a)(Vì a<1)

=a+1-1+a=2a

Bài 2:

a: \(2x^2-8x+33\)

\(=2x^2-8x+8+25=2\left(x^2-4x+4\right)+25=2\left(x-2\right)^2+25\ge25\forall x\)

=>\(\sqrt{2x^2-8x+33}\ge\sqrt{25}=5\forall x\)

=>\(A=\sqrt{2x^2-8x+33}+3\ge5+3=8\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-2=0

=>x=2

b: \(B=\sqrt{x^2-8x+18}-1\)

\(=\sqrt{x^2-8x+16+2}-1\)

\(=\sqrt{\left(x-4\right)^2+2}-1\ge\sqrt2-1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-4=0

=>x=4

c: \(C=\sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+10}+2y^2-8y+2020\)

\(=\sqrt{\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1+9}+2y^2-8y+8+2012\)

\(=\sqrt{\left(x-y+1\right)^2+9}+2\left(y-2\right)^2+2012\ge2012+3=2015\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi y-2=0 và x-y+1=0

=>y=2 và x=y-1=2-1=1

Gọi x là độ dài hình chữ nhật

y là độ rộng hình chữ nhật

(x,y>0)

Ta có x+y =25

Theo AGM ta có xy\(\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{625}{4}=156.25\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=12,5