Câu 2:

$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$

Hai điểm cực trị cùng dương khi:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$

Đáp án C.

Câu 2:

Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:

$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow m^2-4< 0$

$\Leftrightarrow -2< m< 2$

Đáp án A.

7.

\(V=\frac{\left(a\sqrt{2}\right)^3\pi.\sqrt{2}}{3}=\frac{4\pi a^3}{3}\)

8.

Mệnh đề B sai

Mệnh đề đúng là: \(lnx< 1\Rightarrow0< x< e\)

9.

\(\overline{z}=5-2i\Rightarrow z=5+2i\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\)

10.

\(\overrightarrow{NM}=\left(1;-3;-2\right)\) nên đường thẳng MN nhận \(\left(1;-3;-2\right)\) là 1 vtcp

Phương trình tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1-3t\\z=3-2t\end{matrix}\right.\)

4.

\(V=3.4.5=60\)

5.

\(\left\{{}\begin{matrix}log_8a+2log_4b=5\\log_8b+2log_4a=7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow log_8a-log_8b-2\left(log_4a-log_4b\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow log_8\frac{a}{b}-2log_4\frac{a}{b}=-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}log_2\frac{a}{b}-log_2\frac{a}{b}=-2\)

\(\Leftrightarrow-\frac{2}{3}log_2\frac{a}{b}=-2\)

\(\Leftrightarrow log_2\frac{a}{b}=3\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=8\)

6.

\(log_{\frac{1}{5}}x=t\Rightarrow t^2-2t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_{\frac{1}{5}}x=-1\\log_{\frac{1}{5}}x=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\frac{1}{125}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Câu 1:

\(5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x\)

\(\Leftrightarrow 5^{2x}-2.5^x+1=3^{2x}+2.3^x+1\)

\(\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2\)

\(\Leftrightarrow (5^x-1-3^x-1)(5^x-1+3^x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0\)

Vì \(3^x,5^x>0\Rightarrow 3^x+5^x>0\), do đó từ pt trên ta có \(5^x-3^x=2\)

\(\Leftrightarrow 5^x=3^x+2\)

TH1: \(x>1\)

\(\Rightarrow 5^x=3^x+2< 3^x+2^x\)

\(\Leftrightarrow 1< \left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)

Vì bản thân \(\frac{2}{5},\frac{3}{5}<1\), và \(x>1\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x< \frac{2}{5};\left(\frac{3}{5}\right)^x<\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x< 1\) (vô lý)

TH2: \(x<1 \Rightarrow 5^x=3^x+2> 3^x+2^x\)

\(\Leftrightarrow 1>\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)

Vì \(\frac{2}{5};\frac{3}{5}<1; x<1\Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^x> \frac{3}{5}; \left(\frac{2}{5}\right)^x>\frac{2}{5}\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x>1\)

(vô lý)

Vậy \(x=1\)

Câu 2:

Ta có \(1+6.2^x+3.5^x=10^x\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{10^x}+6.\frac{1}{5^x}+3.\frac{1}{2^x}=1\)

\(\Leftrightarrow 10^{-x}+6.5^{-x}+3.2^{-x}=1\)

Ta thấy, đạo hàm vế trái là một giá trị âm, vế phải là hàm hằng có đạo hàm bằng 0, do đó pt có nghiệm duy nhất.

Thấy \(x=2\) thỏa mãn nên nghiệm duy nhất của pt là x=2

Câu 3:

\(6(\sqrt{5}+1)^x-2(\sqrt{5}-1)^x=2^{x+2}\)

Đặt \(\sqrt{5}+1=a\), khi đó sử dụng định lý Viete đảo ta duy ra a là nghiệm của phương trình \(a^2-2a-4=0\)

Mặt khác, từ pt ban đầu suy ra \(6.a^x-2\left(\frac{4}{a}\right)^x=2^{x+2}\)

\(\Leftrightarrow 6.a^{2x}-2^{x+2}a^x-2^{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^{2x}-2^{2x})=0\)

\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^x-2^x)(a^x+2^x)=0\)

\(\Leftrightarrow (a^x-2^x)(6a^x+2^{x+1})=0\)

Dễ thấy \(6a^x+2^{x+1}>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow a^x-2^x=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{5}+1)^x=2^x\Leftrightarrow x=0\)