a) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) 

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{10^2+20^2}=10\sqrt{5}\left(cm\right)\) 

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABM vuông tại A ta có:

\(BM^2=AB^2+AM^2\)

\(\Rightarrow BM=\sqrt{AB^2+AM^2}\)

\(\Rightarrow BM=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\left(cm\right)\)

b) Ta có: 

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{1}{2}\) 

Xét hai tam giác ABC và AMB có: 

\(\widehat{BAC}\) chung 

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AMB\left(c.g.c\right)\)

a) Xét hai tam giác ABE và ACD có:

\(\widehat{ACD}=\widehat{ABE}\left(gt\right)\)     

\(\widehat{BAC}\) chung 

\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ACD\left(g.g\right)\) 

b) Ta có: \(\Delta ABE\sim\Delta ACD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\) 

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMCD có

AM//CD

CM//AD

Do đó: AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có MA=MC

nên AMCD là hình thoi

b: Xét ΔAHI vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HAI}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, AH//BC)

Do đó: ΔAHI~ΔBAC

a) 

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

\(x-1=2x\)

\(\Leftrightarrow2x-x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Thay x = - 1 vào y = 2x ta có: \(y=2\cdot-1=-2\)

Vậy tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là \(\left(-1;-2\right)\)

a) Vào năm 2000 diện tích đất nông nghiệp ở nước ta là:

Thay t = 0 vào \(S=0,12t+8,97\) (vì t được tính theo số năm kể từ năm 2000) ta có: 

\(S=0,12\cdot0+8,97=8,97\left(tr.ha\right)\) 

b) Diện tích đất nông nghiệp ở nước ra đạt 10,05 triệu hec-ta ta thay \(S=10,05\) ta có:

\(10,05=0,12t+8,97\)

\(\Leftrightarrow0,12t=10,05-8,97\)

\(\Leftrightarrow0,12t=1,08\)

\(\Leftrightarrow t=1,08:0,12\)

\(\Leftrightarrow t=9\) 

Vậy năm nước ta đạt 10,05 triệu héc-ta là: \(2000+9=2009\)

a) Ta có: 

\(DF//AC\left(gt\right)\) (1)

\(DE//AB\left(gt\right)\) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ AEDF là hình bình hành (3) 

Mà AD là phân giác của góc FAE (4)

Từ (3) và (4) ⇒ AEDF là hình thoi 

b) Xét hai tam giác CDE và CBA có:

\(\widehat{ACB}\) chung 

\(\widehat{CED}=\widehat{CAB}\) (đồng vị vì DE//AB) 

\(\Rightarrow\Delta CDE\sim\Delta CBA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CE}{AC}\Rightarrow DE\cdot AC=CE\cdot AB\)

Do: AEDF là hình thoi nên: DE = AE = AF 

\(\Rightarrow AF\cdot AC=\left(AC-AE\right)\cdot AB\) 

\(\Rightarrow\left(AB-BF\right)\cdot AC=AC\cdot AB-AE\cdot AB\)

\(\Rightarrow AB\cdot AC-BF\cdot AC=AC\cdot AB-AE\cdot AB\)

\(\Rightarrow BF\cdot AC=AE\cdot AB\) 

\(\Rightarrow AF\cdot AB=BF\cdot AC\left(đpcm\right)\) 

a: AD+DB=AB

=>AD=8-2=6(cm)

Ta có: AE+EC=AC

=>AE=16-13=3(cm)

Xét ΔABE và ΔACD có

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}\left(\frac{8}{16}=\frac36=\frac12\right)\)

góc BAE chung

Do đó: ΔABE~ΔACD

b: Xét ΔAED và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\left(\frac38=\frac{6}{16}\right)\)

góc DAE chung

Do đó: ΔAED~ΔABC

=>\(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

c: Ta có: \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\left(=\frac38\right)\)

=>\(AE\cdot AC=AD\cdot AB\)

a: Xét ΔDAB vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

\(\hat{ADB}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAB~ΔDEC

b: ΔDAB~ΔDEC

=>\(\frac{DA}{DE}=\frac{DB}{DC}\)

=>\(\frac{DA}{DB}=\frac{DE}{DC}\)

Xét ΔDAE và ΔDBC có

\(\frac{DA}{DB}=\frac{DE}{DC}\)

\(\hat{ADE}=\hat{BDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAE~ΔDBC

1: \(\frac{1-a\cdot\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)^{}}{1-\sqrt{a}}=1+\sqrt{a}+a\)

2: \(\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}}=\frac{\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)}{\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)^2}{x+3-\left(x-3\right)}=\frac{x+3+x-3+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}}{6}\)

\(=\frac{2x+2\sqrt{x^2-9}}{6}=\frac{x+\sqrt{x^2-9}}{3}\)

4: \(\frac{3}{2\sqrt{9x}}=\frac{3}{2\cdot3\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}\)

5: \(\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2x}\)

7: \(\frac{\sqrt{a^3}+a}{\sqrt{a}-1}=\frac{a\cdot\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}-1}=\frac{a\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}-1}=\frac{a\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

\(=\frac{a\left(a+2\sqrt{a}+1\right)}{a-1}=\frac{a^2+2a\cdot\sqrt{a}+a}{a-1}\)

8: \(\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{2b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{2b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{2b}\right)}=\frac{2\sqrt{a}-2\sqrt{2b}}{a-2b}\)

10: \(\frac{25}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{25\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{25\sqrt{a}+25\sqrt{b}}{a-b}\)

11: \(-\frac{ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=-\frac{ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{-ab\cdot\sqrt{a}-ab\cdot\sqrt{b}}{a-b}\)

Ta có: DE//AC (cùng vuông góc với AB) 

Áp dụng định lý Ta-lét ta có:

\(\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BE}{CE}\Rightarrow\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BE}{BC-BE}\Rightarrow\dfrac{6}{x}=\dfrac{3x}{13,5-3x}\)

\(\Leftrightarrow6\left(13,5-3x\right)=x\cdot3x\)

\(\Leftrightarrow81-18x=3x^2\)

\(\Leftrightarrow27-6x=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x-27=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+9x-27=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+9\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(tm\right)\\x=-9\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: `x=3`