Ta có

\(x^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow x^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}\ge1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\le1\)

\(\Rightarrow\frac{9}{\sqrt{x^2+1}}\le9\)

\(\Rightarrow1+\frac{9}{\sqrt{x^2+1}}\le10\)

Dấu " = " xảy ra khi x=0

Vậy MAX_P=10 khi x=0

Để P đạt GTLN

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}\) đạt GTNN

Ta thấy:\(x^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+1\ge0+1=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}\ge\sqrt{1}=1\)

Khi đó GTLN của P là \(1+\frac{9}{1}=1+9=10\) khi x=0

Vậy MaxP=10 khi x=0

ĐKXĐ: \(x\ge9\)

\(A=\frac{\sqrt{x-9}}{5x}=\frac{\sqrt{\frac{x-9}{3}}3-3}{5x}\le\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{x-9}{3}+3\right)}{5x}=\frac{\frac{x-9+9}{3}}{10x}=\frac{1}{30}\)

(dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x-9}{3}=3\Leftrightarrow x=18\))

Vậy \(A_{max}=\frac{1}{30}\) (khi và chỉ khi x = 18)

Kiếm việc làm nào :)

1) ĐK \(x\ne\pm9\)

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-9}+\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}+\frac{3x+9}{x-9}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{3}{\sqrt{x}+3}\)

2) ?

3) Ta có

\(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\ge3\)

\(\Rightarrow A=\frac{3}{\sqrt{x}+3}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0

a) A = \(\sqrt{-x^2+x+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}\le\sqrt{1}=1\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\))

Vậy max A = 1 (khi và chỉ khi x = \(\dfrac{1}{2}\))

b) B = \(\sqrt{\left(2x^2-x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{1}{2}\)).

Vậy min B = 3 (khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = \(-\dfrac{1}{2}\))

c) C = \(\left|5x-2\right|+\left|5x\right|=\left|2-5x\right|+\left|5x\right|\);

C \(\ge\left|2-5x+5x\right|=\left|2\right|=2\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2-5x\right).5x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2-5x\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\2-5x\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0\le x\le\dfrac{2}{5}\)).

Vậy min C = 2 (khi và chỉ khi \(0\le x\le\dfrac{2}{5}\))

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky, với $x\geq \frac{-1}{2}$ ta có:

\((\sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3})^2=(\sqrt{(2x+1)(x+2)}+2\sqrt{x+3})^2\)

\(\leq [(2x+1)+2^2][(x+2)+(x+3)]=(2x+5)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3}\leq 2x+5\)

\(\Rightarrow A\leq 5\)

Vậy $A_{\max}=5$. Giá trị này đạt tại $x=1$