Giả sử \(x\le y\le z\) do \(xyz\le0\) nên\(x\le0\)

Do \(x^2+y^2+z^2=9\Rightarrow x^2\le9\Rightarrow x\in\left[-3;0\right]\)

Ta có \(yz\le\left(\frac{y+z}{2}\right)^2\le\frac{y^2+z^2}{2}\)

Do đó : \(2\left(x+y+z\right)-xyz=2x+2\left(y+z\right)-xyz\le2x+2\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}-x.\frac{y^2+z^2}{2}\)

           \(=2x+2\sqrt{2\left(9-x^2\right)}-\frac{x\left(9-x^2\right)}{2}=\frac{x^3}{2}-\frac{5x}{2}+2\sqrt{2\left(9-x^2\right)}\)

Xét hàm số :

\(f\left(x\right)=\frac{x^3}{2}-\frac{5x}{2}=2\sqrt{2\left(9-x^2\right)}\) với \(x\in\left[-3;0\right]\) \(\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{3x^2}{2}-\frac{5}{2}-\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{9-x^2}}\)

Xét \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\frac{3x^2}{2}-\frac{5}{2}-\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{9-x^2}}=0\Leftrightarrow\sqrt{9-x^2}\left(5-3x^2\right)=-4\sqrt{2}x\)

     \(\Leftrightarrow\left(9-x^2\right)\left(5-3x^2\right)=32x^2\) (với điều kiện \(5-3x^2\ge0\))

     \(\Leftrightarrow9x^9-111x^4+327x^2-225=0\)

     \(\Leftrightarrow x^2=1;x^2=3;x^2=\frac{25}{3}\)

\(x^2\le\frac{5}{3}\) nên \(x^2=1\Leftrightarrow x=1,x=-1\) (loại)

Ta có \(f\left(-3\right)=-6;f\left(1\right)=10;f\left(0\right)=6\sqrt{2}\) suy ra Max \(f\left(x\right)=f\left(-1\right)=10\)

\(2\left(x+y+z\right)-xyz\le f\left(x\right)\le10\)

Dấu = xảy ra khi x=-1, y=z và \(x^2+y^2+z^2=9\)

\(\Leftrightarrow x=-1;y=z=2\)

a, \(f\left(x\right)=-x^2+mx+m+1\)

Để f(x) \(\le0\) \(\forall x\in R\) mà \(a=-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\Delta\le0\) \(\Leftrightarrow\Delta=m^2+4\left(m+1\right)\le0\Leftrightarrow m^2+4m+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\le0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)

b, Để hàm số y xác định \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow mx^2-2mx+2\ge0\) có nghiệm \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=4m^2-2.4.m\le0\\a=m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le2\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< m\le2\)

a/ Do \(a=-1< 0\)

\(\Rightarrow\) Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\Leftrightarrow\Delta'\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4\left(m+1\right)\le0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow m=-2\)

b/ Để hàm số xác định với mọi x

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=mx^2-2mx+2\ge0\) \(\forall x\)

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)=2\) thỏa mãn

- Với \(m\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'=m^2-2m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\0< m< 2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(0\le m< 2\)

Đề bài là \(\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+3m-2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-1\right)\left(3m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\-2m^2+7m-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\le\frac{7-\sqrt{71}}{4}\)

a/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\x\ne3\end{matrix}\right.\)

b/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có :

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}\)

Mặt khác :

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)

Theo giả thiết ta có :

\(\left|2\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\) hay \(AM=\dfrac{BC}{2}\)

Ta suy ra ABC là tam giác vuông tại A