a)

Vì \(M\) là trung điểm của \(C H\)

\(M C = M H .\)

Lại có:

• \(M D \bot B C\)
• \(C , H , M \in B C\)

nên

\(\angle D M C = \angle D M H = 90^{\circ} .\)

Và \(D M\) là cạnh chung.

Suy ra:

\(\triangle D M C = \triangle D M H\)(c.g.c).

Từ hai tam giác bằng nhau:

\(D C = D H .\)

Vậy \(D\) cách đều \(C\) và \(H\).

b.

Do tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), đường cao \(A H\) đồng thời là trung tuyến nên:

\(B H = H C .\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(C H\)

\(M H = M C = \frac{C H}{2} .\)

Từ câu a):

\(D C = D H .\)

Suy ra \(D\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(C H\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(C H\) và \(M D \bot C H\), nên \(M D\) chính là đường trung trực của \(C H\).

Xét tam giác \(A B C\):

• \(H\) là trung điểm của \(B C\),
• \(D\) là trung điểm của \(A C\) (vì \(D C = D H = \frac{A C}{2}\)).

Do đó đoạn nối hai trung điểm của hai cạnh \(A C\) và \(B C\) song song với cạnh còn lại:

\(H D \parallel A B .\)

c.

\(A H + B D > \frac{3}{2} \textrm{ } A B .\)

Từ câu b), \(H D \parallel A B\).

Xét tam giác \(A B C\), \(H\) là trung điểm của \(B C\), đường thẳng qua \(H\) song song với \(A B\) cắt \(A C\) tại \(D\).

Theo định lý đường trung bình:D là trung điểm của AC

và

\(H D = \frac{1}{2} A B .\)

Xét tam giác \(B H D\):

Theo bất đẳng thức tam giác:

\(B D + D H > B H .\)

Suy ra

\(B D + \frac{1}{2} A B > B H .\)

Do tam giác \(A B H\) vuông tại \(H\),

\(A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} .\)

nên

\(A B > B H .\)

Vì thế

\(B D + \frac{1}{2} A B > B H < A B .\)

Suy ra

\(B D + \frac{1}{2} A B < B D + A B .\)

Mặt khác \(A H > \frac{1}{2} A B\) (vì trong tam giác vuông \(A B H\), cạnh huyền \(A B\) lớn hơn cạnh góc vuông \(B H\), nên \(A H > \frac{1}{2} A B\)).

Cộng hai bất đẳng thức:

\(A H + B D > \frac{1}{2} A B + A B = \frac{3}{2} A B .\)

tk

a) Vì M là trung điểm của CH nên MC = MH
Ta có DM ⊥ BC nên góc DMC = góc DMH = 90°
DM là cạnh chung
Suy ra △DMC = △DMH
Giải thích, hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên bằng nhau
b) Vì △ABC cân tại A và AH ⊥ BC nên H là trung điểm của BC
M là trung điểm của CH, MD ⊥ BC nên MD // AH
Trong tam giác AHC, M là trung điểm của HC và MD // AH nên D là trung điểm của AC
Xét tam giác CAB, H là trung điểm của CB, D là trung điểm của CA
Suy ra HD là đường trung bình của tam giác CAB
Vậy HD // AB
c) Vì góc A nhọn nên AH > HC
Đặt AH = a, HC = b, với a > b
Khi đó AB = √(a² + b²)
Do D là trung điểm AC nên BD = 1/2√(a² + 9b²)
Ta cần chứng minh:
a + 1/2√(a² + 9b²) > 3/2√(a² + b²)
⇔ 2a + √(a² + 9b²) > 3√(a² + b²)
Vì √(a² + b²) > a nên khi bình phương biến đổi được bất đẳng thức đúng
Vậy AH + BD > 3/2AB
Giải thích, dùng tính chất tam giác cân, đường trung bình và công thức độ dài để chứng minh bất đẳng thức.

a: Xét ΔDMH vuông tại M và ΔDMC vuông tại M có

DM chung

MH=MC

Do đó; ΔDMH=ΔDMC

b: ΔDMH=ΔDMC

=>DH=DC

=>ΔDHC cân tại D

Ta có: \(\hat{DHC}+\hat{DHA}=\hat{AHC}=90^0\)

\(\hat{DCH}+\hat{DAH}=90^0\) (ΔAHC vuông tại H)

mà \(\hat{DHC}=\hat{DCH}\) (ΔDHC cân tại D)

nên \(\hat{DHA}=\hat{DAH}\)

=>DH=DA

mà DH=DC

nên DA=DC

=>D là trung điểm của AC

ΔDHC cân tại D

=>\(\hat{DHC}=\hat{DCH}\)

mà \(\hat{DCH}=\hat{ABC}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{DHC}=\hat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HD//AB

c: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH,BD là các đường trung tuyến

AH cắt BD tại G

Do đó: G là trọng tâm cua ΔABC

=>\(AG=\frac23AH;BG=\frac23BD\)

XétΔGAB có GA+GB>AB

=>\(\frac23\left(AH+BD\right)>AB\)

=>\(AH+BD>\frac32AB\)