Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 3:

a: ĐKXĐ: a>0; b>0; a<>b

b: \(A=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=-2\sqrt{b}\)

Ta có:

\(2025a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2025a+bc}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2025a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b}{b+\sqrt{2025b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(\frac{c}{c+\sqrt{2025c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế:

\(M\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Vậy \(M_{max}=1\) , dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=675\)

helpppp

Ta có: \(\frac{\sqrt{x}+2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-2-\left(x-\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

Ta có: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}+1}\right):\frac{4x}{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{\left(x-1\right)^2}{4x}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)

ĐKXĐ: x∉{2;-1;-2}

Ta có: \(\frac{3}{x^2-x-2}+\frac{3}{x^2+3x+2}=\frac{3}{x^2+4}\)

=>\(\frac{1}{x^2-x-2}+\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{x^2+4}\)

=>\(\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x^2+4}\)

=>\(\frac{x+2+x-2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{x^2+4}\)

=>\(\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{x^2+4}\)

=>\(2x\left(x^2+4\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)\)

=>\(2x^3+8x=x^3-4x-x^2+4\)

=>\(x^3+x^2+12x-4=0\)

=>x≃0,32(nhận)

18: Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(ĐIều kiện: x>0; y>0)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Trong 1 giờ, hai người làm được: \(\frac{1}{16}\) (công việc)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\left(1\right)\)

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được: \(3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\) (công việc)

Trong 6 giờ, người thứ hai làm được: \(6\cdot\frac{1}{y}=\frac{6}{y}\) (công việc)

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì hai người làm được 25% công việc nên ta có: \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac14\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{6}{16}=\frac38\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac14\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\frac{6}{x}+\frac{6}{y}-\frac{3}{x}-\frac{6}{y}=\frac38-\frac14=\frac18\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac18\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=24\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{16}-\frac{1}{24}=\frac{3}{48}-\frac{2}{48}=\frac{1}{48}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=24\\ y=48\end{cases}\) (nhận)

Vậy: thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là 24(giờ) và 48(giờ)

17: Gọi khối lượng thóc đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x(tấn) và y(tấn)

(Điều kiện: x>0; y>0)

Năm nay, đơn vị thứ nhất sản xuất được: \(x\left(1+15\%\right)=1,15x\) (tấn)

Năm nay, đơn vị thứ hai sản xuất được:

\(y\left(1+12\%\right)=1,12y\) (tấn)

Năm nay, hai đơn vị sản xuất được 4095 tấn thóc nên 1,15x+1,12y=4095(1)

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất được 3600 tấn thóc nên x+y=3600(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}1,15x+1,12y=4095\\ x+y=3600\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1,15x+1,12y=4095\\ 1,15x+1,15y=4140\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}1,15x+1,15y-1,15x-1,12y=4140-4095=45\\ x+y=3600\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}0,03y=45\\ x+y=3600\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=45:0,03=1500\\ x=3600-1500=2100\end{cases}\) (nhận)

Năm nay, đơn vị thứ nhất sản xuất được: \(2100\cdot1,15=2415\) tấn
năm nay, đơn vị thứ hai sản xuất được: \(1500\cdot1,12=1680\) (tấn)